플로이드 알고리즘

플로이드 알고리즘을 공부하는데 몇가지 이해가 안되는 점이 있습니다.

D의 k승은 k개의 정점을 지나는 최단 경로 길이의 행렬이고,

모든 정점을 지날 수 있는 최단 경로의 길이는 입니다.

즉, D에 주어진 행렬의 크기(길이)만큼 제곱을 해줘야 모든 경우의 수의 최단 경로를 알 수 있다는 것 입니다.

그런데 강의에서 제곱이 아닌 재귀관계식의 형태로 본것이 첫번째로 이해가 잘 되지 않고,

두번째는 제 생각에는 형태로 다른 정점 을 지나면 새로운 경로가 있는 경우가 되야 할것 같은데,

위와 같은 형태로 에서 k가 마치 함수의 매개변수 인것처럼 보이고 승수가 행렬의 인덱스처럼 사용되는 점이 이해가 되지 않습니다.

세번째는 재귀 관계식를 이용해서 을 구해야 최단 경로의 길이를 구할 수 있는데, 로 n번의 연산과정이 있어야 함에도 단 한번의 플로이드 함수를 돌린 리턴값이 가 될 수 있는 이유를 모르겠습니다... 제가 봤을때는 한번 플로이드 함수가 돌리면 하나의 정점을 지난 최단 경로가 나와야 할것 같은데....

이 세가지가 플로이드 알고리즘에서 이해가 되지 않는 부분입니다!

답변 해주시면 감사합니다!