Example 2 나름대로 부연 설명

제 나름대로 이해한 것을 통해 부연설명을 해봅니다.

Example 2 입니다.

1. 왜 Onto인가

현재 mapping을 나타내는 coefficient matrix가 주어졌고, 이 coefficient matrix는 row echelon form을 갖추고 있습니다. 이 coefficient matrix의 모든 row에 nonzero pivot이 있으므로, 이 matrix는 해를 갖습니다.

(A linear system is consistent if and only if the rightmost column of the augmented matrix is not a pivot column)

3x4 matrix가 해를 갖는다는 의미가 어떻게 R^4 와 연결될까요? 이는 해의 의미를 되짚어보면 이해할 수 있습니다.

여기서의 해는 3 x 4 matrix A와 R^4의 vector x, R^3의 vector b가 존재할 때, 임의의 b에 대해 Ax = b의 꼴에서의 해, 즉 x가 결정될 수 있다는 뜻을 의미합니다. 즉, R^3의 어떤 b를 선택하든지, Ax=b 꼴에서 x를 결정할 수 있습니다. 즉, A라는 map의 치역(range)는 R^3가 되고, 이는 공역(codomain)과 같아집니다. 따라서 T maps R^4 onto R^3입니다.

따라서, 앞으로 row echelon form으로 주어진 coef. matrix의 모든 row에 nonzero pivot이 있다면 이 matrix는 onto입니다.

(강의에서 onto의 정의로 다시 설명해보면, R^3 상의 임의의 b는 최소 한 개 이상의 x의 image입니다. 따라서 onto입니다)

2. 왜 one-to-one이 아닌가?

앞서 설명한 해의 의미로 돌아가면, Ax = b에서 임의의 b에 대해 해 x를 결정할 수 있습니다. 그런데, 이 해는 x_3라는 free variable을 가집니다. 따라서, 해의 개수는 infinitely many 입니다. One-to-one이 되려면 Domain의 모든 element가 Codomain의 서로 다른 element로 mapping 되어야 합니다. 그런데, free variable이 있기 때문에 무수히 많은 variable이 Codomain의 동일한 element로 mapping 됩니다. 따라서 one-to-one이 아닙니다.

(강의에서 one-to-one의 정의로 다시 설명하면, R^3의 임의의 b가 R^4의 x의 at most one x에 대한 image라는 것을 위배합니다. 무수한 x의 이미지일 수 있기 때문입니다. 따라서 onto가 아닙니다)

3. 빠른 판단

이 결과는 어찌보면 당연합니다. 두 가지로 빠르게 판단할 수 있을 것 같은데요.

첫째로 row와 column의 개수를 비교해볼 수 있습니다.

우선, m x n matrix를 생각하면, row 개수는 m, column 개수는 n입니다. 그리고 모든 row와 column은 1개의 pivot 밖에 가질 수 없습니다.

따라서, onto 를 위해 해가 존재하려면, 즉, 모든 row에 pivot이 있으려면, 최소한 column이 row보다 같거나 많아야 합니다. 즉 onto를 위해서는 최소한 m <= n 이어야 합니다.

반대로, one-to-one을 위해 free variable이 없으려면, 최소한 row가 column 보다 같거나 많아야 합니다. 즉, one-to-one을 위해서는 최소한 m >= n 이어야 합니다.

그러나, 이는 m <=n일 때 onto 라거나, m >= n일 때 one-to-one 이라는 뜻은 아닙니다. 그러나, onto이면 m <=n이고, one-to-one 이면 m >= n 입니다. (대우로 인해, m > n이면 onto가 아니고, m < n이면 one-to-one이 아닙니다)

둘째로, one-to-one correspondence로 설명할 수 있습니다. 이는 우리가 계속 사용하는 one-to-one (one-to-one function) 과는 다른 얘기입니다 (일대일 대응과 일대일 함수의 차이입니다). onto임을 판별한 시점에서, 이 matrix는 one-to-one이 아닙니다. 왜냐하면 이 matrix가 onto이면서 one-to-one이면 이 one-to-one correspondence (일대일 대응)이 되는데, 이를 위해서는 m = n이어야 하기 때문입니다.

개인 블로그에 작성하기 전에 rough하게 이해한 것들을 정리해보았습니다. 많은 분들께 도움이 되었으면 좋겠습니다. 오류가 있으면 댓글로 알려주시면 감사하겠습니다 :)