[Dimension] The Basis Theorem

안녕하세요, 수업을 듣고 있는 학생입니다.

제가 이해하고 있는 것이 맞는지 확인하기 위해 질문을 올립니다.

2.7의 슬라이드 10을 보면,

R^n space의 subspace인 H가 p차원이라고 되어 있습니다.

그럼 만약 m by k인 matrix A가 있을 때,

m은 A를 구성하는 각 벡터들의 차원입니다.

그리고 k는 경우에 따라 다르다고 생각합니다. (H span과 관련하여)

1) k < p : 절대 H를 span할 수 없습니다.

2-1) k=p 이며 k개의 벡터가 linearly independent

: H를 span하며, 각 벡터는 기저입니다.

이 경우에는 k를 span하고자 하는 공간의 차원으로 볼 수 있으며 dim(A) = rank A = p입니다.

2-2) k=p 이며 k개의 벡터 중 linearly dependent한 벡터 단 한 쌍이라도 존재

: H를 span하지 못합니다.

3) k>p인 경우 k개 중 linearly independent한 벡터 즉, pivot들이 p개라면 H를 span할 수 있습니다.

+ 슬라이드 10의 p<=n이어야 합니다.

라고 알고 있습니다.

혹시 위에서 잘못 이해하고 있는 부분이 있어 알려주시면 정말 감사하겠습니다.

질문 읽어주셔서 감사합니다.