Gaussian Integral에서 질문드립니다.

안녕하세요 선생님

Gaussian Integral을 학습하다가 궁금한 점이 생겨서 이렇게 질문드립니다.

1. exp(-x^2-y^2)을 초등함수로 표현할 수 없는 이유가 궁금합니다.

제가 이해한 바로는 simple region에서는 함수로 표현된 변수부터 적분하면 반복적분이 항상 가능한 것으로 알고 있는데요.

따라서 영역D는 x-simple이자 y-simple이기에 직교좌표계에서도 반복적분으로 이중적분을 구할 수 있다고 생각합니다. 

그렇다면 저 적분값을 초등함수로 표현할 수 없는 이유는 영역 D의 특성 때문이 아니라 함수 exp(-x^2-y^2)의 특성 때문인가요? 만약 그렇다면 초등함수로 표현되지 않는 함수를 적분하기 전에 바로 판정할 수 있는 방법이 있을까요?


2. 가우스적분의 마지막 전개 과정에서 의문이 생겼습니다.

\lim _{ a\quad ->\quad \infty  }[{ { (\int _{ -a }^{ a }{ { e }^{ { -x }^{ 2 } } } dx })^{ 2 } ]} =[{ \lim _{ a\quad ->\quad \infty  }{ { (\int _{ -a }^{ a }{ { e }^{ { -x }^{ 2 } } } dx }) }  }]^{ 2 }={ (\int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ { e }^{ { -x }^{ 2 } } } dx) }^{ 2 }

첫 번째 등호는 lim[f(x) ^ 2] = [limf(x)]^2이고, 두 번째는 연속함수의 성질과 비슷한 것 같은데

{ \lim _{ a\quad ->\quad \infty  }{ { (\int _{ -a }^{ a }{ { e }^{ { -x }^{ 2 } } } dx }) }  } 이 수렴하는지 그리고 { { (\int _{ -a }^{ a }{ { e }^{ { -x }^{ 2 } } } dx }) }가 연속하는지는 어떻게 알 수 있을까요??

질문이 글로 답변해주시엔 까다로운데 하필 또 기초적인 부분에 계속 걸려서 죄송합니다. 제가 미적분1을 너무 오래 전에 해서 지금 기억이 가물가물하네요... ㅜ ㅜ 그렇지만 항상 세심하게 알려주셔서 감사합니다 :)