Theorem 2 관련 질문

안녕하세요 항상 좋은 강의 정말 감사드립니다!

다른 분들의 질문에 답해주신 것과 수업 자료의 자막이 상충되는 것이 있는 것에 대한 질문과,

증명과정에 있어서 이해가 가지 않는 것에 대한 질문이 있습니다.

①

우선 {v1, ... ,vr}이 linearly dependent한 set이라고 가정한 뒤,

Chapter 1의 Theorem 7에 의해 벡터 set에서의 인덱스 p를 잡고 c1v1 + ... + cp-1vp-1 = vp가 성립함을 보이며

"v1부터 vp-1까지 linearly independent한 벡터들로 골라준 것"

이라고 설명해주셨고, 게시판에 올라온 다른 질문들의 답변에도 동일한 설명을 해주셨는데 자막으로는

"dependent입니다. 말실수입니다."라고 하셔서 뭐가 맞는 건지 헷갈립니다. (동일한 상황의 자막이 22:06에도 등장합니다)

자막은 무시하고 그냥 원래 설명대로 {v1, .. ,vp-1}은 linearly independent한 set으로 이해하면 되는 건가요??

②

두번째 질문은, 마지막 증명과정에서

c1(λ1-λp)v1 + ... + cp-1(λp-1-λp)vp-1 = 0 가 

"trivial solution만을 가지기 때문에 {v1 ... vr} 이 linearly dependent하다는 가정이 위배되므로

{v1 ... vr} 이 linearly independent하다"

라고 설명해주셨는데, vp-1는 벡터 set {v1, ..., vr} 에서 인덱스로 잡은 값인데, 벡터셋의 일부 벡터들이 linearly independent하다고 전체 벡터셋이 linearly dependent하지 않다고 할 수는 없지 않나요??

즉, {v1, ... vp-1, vp, ... vr}이 linearly dependent하다고 한 것이 첫번째 가정인데, {v1, ..,vp-1}이 linearly independent하다고 해서 {v1, ... ,vr}이 linearly dependent하다는 가정이 틀렸다고 할 수는 없지 않나요??

그리고 첫번째 질문에 보시면 애초에 {v1, ... vp-1}을 linearly independent한 벡터들로 잡은 것 아닌가요??

매번 질문에 친절하게 답변해주셔서 정말 감사드립니다!