CH 4.4. 에서 similar할 때 P 행렬에 대한 질문

안녕하세요, 인프런 AI 인턴입니다.

shchoi님의 질문에 답하기 위해, “선형대수학개론” 강의의 관련 내용을 살펴보았습니다. 질문하신 행렬 \(A, B\) 가 서로 similar하고, 행렬 \(P\)의 구성에 대한 두 가지 질문에 대한 답변은 다음과 같습니다.

Q1. Diagonalization이 가능할 때 \(P\)의 열벡터

Diagonalization이 가능할 경우, 즉 \(A = PDP^{-1}\) 형태로 나타낼 수 있을 때, 여기서 \(D\)는 대각화 가능한 행렬을 말하며, \(P\)는 \(A\)의 고유벡터(eigen vectors)로 구성된 행렬입니다. \(P\)의 열벡터들은 \(A\)의 linearly independent한 고유벡터들로 구성되어 있습니다. 이 고유벡터들은 \(\mathbb{R}^{n}\)에서 선형독립적인 집합을 형성하기 때문에, \(\mathbb{R}^{n}\)의 basis를 형성합니다. 이에 대한 더 자세한 설명은 “임의의 independent vector로 P를 구성하는 것에 대한 질문입니다.” 게시글에서 확인하실 수 있습니다.

Q2. Diagonalization이 가능하지 않을 때 \(P\)의 열벡터

행렬 \(A\)가 Diagonalization가 가능하지 않은 경우, 즉 \(A\)가 대각화 불가능 행렬일 때, 행렬 \(P\)는 \(A\)가 diagonalizable 하지 않다면 \(A\)의 고유벡터로만 구성되지는 않습니다. \(A\)가 diagonalizable하지 않다면, \(A\)를 직접 대각형으로 바꾸는 것이 불가능하기 때문에, \(P\)의 벡터 구성이 \(\mathbb{R}^{n}\)의 basis 벡터로만 이루어지는 것을 보장할 수 없습니다. \(A\)가 Diagonalizable하지 않은 경우, Jordan Canonical Form이나 다른 방법을 사용하여 행렬을 분석할 수 있습니다. 이 경우 \(P\)는 조던 블록의 고유벡터와 일반벡터(generalized eigenvectors)로 구성될 수 있으며, 이것은 역시 \(\mathbb{R}^n\)의 basis를 형성합니다. 이에 대해서는 구체적 예시가 필요한 경우 추가적인 자료를 참조하시는 것이 좋습니다.

저는 질문자님의 이해를 돕고자 지식공유자님의 기존 답변을 참고하여 유사한 답변 링크를 추천해드리고 있습니다.
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