linear independence이라면 왜 one-to-one인가요?

안녕하세요 김동욱 님, 인프런 AI 인턴이에요.
linear independence는 주어진 벡터들이 서로 선형적으로 독립적인지를 나타내는 개념입니다.
만약 주어진 벡터들이 one-to-one이라면 벡터들 간에 선형적인 관계가 없다는 것을 의미합니다.
이는 linear independence와 관련이 있지만 정확히 같은 개념은 아닙니다.
선형 독립은 벡터들의 선형 조합으로 영 벡터(0 벡터)를 만드는 방법이 오직 제로 스칼라일 때 성립하며,
one-to-one은 벡터들 간에 중복이나 중첩이 없는 관계를 의미합니다.
따라서 linear independence와 one-to-one은 서로 다른 개념이지만 선형대수학에서 서로 연관되어 사용되는 경우가 있을 수 있습니다.
더 자세한 설명이 필요하신 경우, 선형대수학 강의나 교재를 참고하시면 도움이 될 것입니다. 감사합니다!

Matrix A의 Column들이 linearly independent 하다는 것은 if and only if A가 one-to-one mapping입니다. 증명은 여러 가지로 많이 소개되어있으니 직접 찾아보시면 되겠습니다. 제가 이 동치를 직관적으로 이해하는 방법은 아래와 같습니다. 우선 one-to-one의 linear mapping에서의 직관적 의미부터 되새겨봅시다. A가 one-to-one mapping이라는 것은 Ax = b에서 서로 다른 x가 각각 서로 다른 b로 mapping 된다는 뜻입니다. 여기서 Column들의 linear independence 의 linear mapping 에서의 의미를 되새겨봅시다. Column들의 linear independence는 A의 Column들 중 어느것도 서로 다른 column들의 linear combination으로 표현될 수 없다는 뜻입니다. 반대로, column 들이 linearly dependent하다면, 어떤 column은 다른 column들의 linear combination으로 표현됩니다. 여기서, i번째 column이 vector x의 i번째 element 를 mapping 하는 것임을 상기해보면 (1.8 강의 standard matrix 부분을 보시면 됩니다), linearly dependent 하다면, vector x의 '어떤 element k'가 mapping되는 결과는 vector x의 다른 element가 mapping 된 것의 조합으로 표현됩니다. 따라서, element k는 어떻게 결정되어도 상관없는 free variable이게 됩니다. 따라서, one-to-one이지 않습니다. 이의 대우로, one-to-one이면 linearly independent하게 됩니다. 조금 rough하게 적어서 엄밀한 설명은 아닙니다만, linear independence와 one-to-one이 linear map에서 어떤 관계가 있는지 이해하시는데에 도움이 되었으면 합니다 :)