안녕하세요,example3 관련 질문 드립니다. cofactor 전개 과정에서 matrix에 scailing을 할 수 있는건가요?풀이하시면서 3*3 matrix의 세 번째 행 ( 0 -2 0 )으로 cofactor 전개하실 때 -2니까 -를 곱해준다고 하셨는데, 이렇게 임의로 어떤 수를 곱할 수 있는지 질문드립니다.

안녕하세요 강의를 수강하고 있는 학생입니다. 21:09에서 eigenvalue들이 다를 경우에 각 basis의 역할을 하는 eigenvector들은 linearly independent하다고 설명하셨습니다.  eigenvalue들이 다를 경우라는 것이 무슨 말인지 잘 이해가 되지 않습니다. 어떠한 eigenvalue로부터 구한 eigenspace에 포함되는 eigenvector들은 모두 linearly independent 되어야 하는 것으로 알고 있었는데 살짝 혼란이 있습니다. 예를 들어 example 2의 경우 [1,-1,1], [-1,1,0], [-1,0,1] 총 3개의 eigen vector 모두가 linearly independent해야 diagnolization 가능하다고 생각했는데 혹시 잘못 이해하고 있는 부분이 있다면 알려주시면 감사하겠습니다. 감사합니다.

안녕하세요, 강의를 수강하고 있는 학생입니다. Theorem 2 증명과정 중에서v_1, ... v_r이 만약 linearly dependent하다면, chapter 1의 7번 정리에 의해 c_1v_1+c_2v_2+...+c_{p-1}v_{p-1}=v_p 식을 작성할 수 있고 (단, v_1~ v_{p-1}은 선형독립)그 다음 matrix A multiplication으로 (lambda를 L로 작성하겠습니다.)c_1L_1v_1+c_2L_2v_2+...+c_{p-1}L{p-1}v_{p-1}=L_pv_p식이 나온다고 하셨는데 그 계산 과정이 잘 이해가 되지 않습니다. 상세히 설명해주시면 정말 감사하겠습니다.  감사합니다.

안녕하세요, 강의를 수강하고 있는 학생입니다. 슬라이드 10 설명하시면서 18분 30초쯤에사람마다 echelon form을 만드는 방법은 다르지만 (scaling 등에 의해) pivot들의 곱은 같다고 말씀하셨는데 그 부분이 잘 이해가 가지 않습니다. 제가 생각하기에는 pivot들의 곱이 같은 것이 아니라 이전 determinant와 elementary row operation과의 관계에서 봤다시피 어떻게 echelon form을 만들더라도 결국 determinant는 같게 나온다와 관련이 있는 것 같습니다. 3.2의 example 1에서도 볼 수 있는 것처럼 마지막 echelon form에서 3번째 row를 0,0,-6,2로 한 것을 0,0,-3,2로 하더라도 3.2에 나온 Theorem 3의 c에 의해 2가 앞으로 나오니 결국 determinant가 같은 원리라고 생각했습니다. 제가 앞부분에서 뭘 놓쳤는지 궁금해서 질문드립니다. 감사합니다.

example1의 풀이에서detA = (-1 or 1)* product of pivots in U when A is invertible 이라고 되어 있는데요.(-1 or 1) 에 대해 추가로 설명이 없는 것 같아서 질문드립니다. 경우에 따라 -1이나 1을 곱해줘야 하는 건가요? 또한 그 경우라는게 정해져 있는 것인지 궁금합니다! 감사합니다.

안녕하세요, 3.2 강의 수강 중 이해가 어려운 부분이 있어 질문드립니다.3p 에서 unaffected row i 에 대해 설명하시면서 row operation에 영향을 받지 않는 row가 반드시 있다고 하셨는데 이 부분이 이해되지 않습니다.예를 들어 3*3 matrix에서 모든 row에 scaling을 진행할 수도 있는 것 아닌가요?

안녕하세요, 강의를 듣고 있는 학생입니다. Example 4의 풀이 흐름을 다음과 같이 생각하는 것이 맞는지 궁금합니다. row replacement를 통해 echelon form으로 만드는 과정 중 모든 열이 다 0인 row가 생긴다는 것을 알았음.invertible한 n by n 행렬의 경우, 총 n개의 pivot이 존재해야 하지만, 그렇지 못하기에 역행렬이 존재하지 않는다. 역행렬이 존재하지 않으면 determinant의 값은 0이다. 따라서 det A = 0 이다. 감사합니다.

L를 구할 때, 이전에 U를 구하는 과정에서 2row <-> 3row interchange를 반영해 두 행을 바꾸어주었는데요, 마찬가지로 U를 구하는 과정에서 1row <-> 4row interchange는 왜 반영하지 않는지 궁금합니다. 제가 규칙을 잘 이해하지 못한 것 같아서요!

안녕하세요, 수업을 듣고 있는 학생입니다. 제가 이해하고 있는 것이 맞는지 확인하기 위해 질문을 올립니다.  2.7의 슬라이드 10을 보면, R^n space의 subspace인 H가 p차원이라고 되어 있습니다. 그럼 만약 m by k인 matrix A가 있을 때, m은 A를 구성하는 각 벡터들의 차원입니다.그리고 k는 경우에 따라 다르다고 생각합니다. (H span과 관련하여)1) k < p : 절대 H를 span할 수 없습니다. 2-1) k=p 이며 k개의 벡터가 linearly independent: H를 span하며, 각 벡터는 기저입니다. 이 경우에는 k를 span하고자 하는 공간의 차원으로 볼 수 있으며 dim(A) = rank A = p입니다.2-2) k=p 이며 k개의 벡터 중 linearly dependent한 벡터 단 한 쌍이라도 존재: H를 span하지 못합니다. 3) k>p인 경우 k개 중 linearly independent한 벡터 즉, pivot들이 p개라면 H를 span할 수 있습니다. + 슬라이드 10의 p<=n이어야 합니다.라고 알고 있습니다. 혹시 위에서 잘못 이해하고 있는 부분이 있어 알려주시면 정말 감사하겠습니다. 질문 읽어주셔서 감사합니다.   

2.5를 학습하던 중 질문이 생겼습니다!A = LU 에서 U를 구하기 위해 row replacement 만 진행한다면, 이로부터 도출되는 U는 unique한가요?제가 계산했을 때는 학습자료의 U 내 entry들과 + - 부호가 다른 entry들이 있어서 질문합니다. 제가 row replacement의 규칙을 잘못 알고 있는 것 같기도 합니다. row replacement를 위해 다른 row에 특정 수를 곱하고 나눈 후, 대상 row를 기준으로 더하거나 빼주어야 하나요? 저는 특정 수를 곱하거나 나눈 다른 row를 기준으로 더하고 빼기도 하였습니다.예를 들어 1행과 3행에 대해 row replacement를 진행한다고 할 때, 3행에 맞추어 1행에 2를 곱하였다면, 1행이 아닌 3행을 기준으로 더하고 빼주어야만 하는지 궁금합니다.

안녕하세요, 강의를 듣고 있는 학생입니다. 슬라이드 9쪽에서 One-to-one의 정의로"at most one" 즉, T(x)=b의 식의 해가 unique하든지, 없든지라고 되어있는데, 없는 경우가 이해가 잘 되지 않습니다. T가 transformation function이기에, 함수이니 결국 정의역 하나는 무조건 매칭이 되어야한다고 생각을 했는데 없는 경우가 어떤 경우인지 궁금합니다. 질문 읽어주셔서 감사드리고 좋은 강의 감사합니다.

안녕하세요, 강의 1.7의 5p에서 주어진 matrix만 보고 domain, codomain의 차수를 말씀해 주시는데요. 주어진 matrix만으로 차원이 결정되는 과정이 어려워서요! transformation에 활용하는 matrix의 행의 수는 codomain의 차원을 결정하고, 열의 수는 domain의 차원이 되는 것 맞을까요? 예를 들어 T에 활용하는 matrix가 2*4라면임의의 벡터는 transformation 이후 R^2 space에 있게 되고, 이 임의의 벡터가 원래는 R^4 space에 있던 것이 맞을까요?

마지막 matrix에서 맨 아래 행이 0 0 -2 라고 되어 있는데요 혹시 0 0 -1 아닌가요?

Row reduction algorithm을 수행하던 중 강의자료와 달리 두 행에 동시에 scaling을 진행하였더니 reduced Echelon form이 다르게 산출됩니다.혹시 Scaling 진행 시 한 행 씩만 해야 하는 규칙이 있나요?

선생님 안녕하세요, 강의 듣다가S=s_1*b_1 + s_2*b_2로 평행사변형이 표현된다는 부분이 잘 이해가 안됩니다. 제가 이전 강의에서 다뤄주신 어느 부분을 놓친 건가요? 아니면 제가 벡터에 대한 기본적인 이해가 부족한 건가요? 어느 부분을 참고해야 이해할 수 있을지 궁금합니다..양질의 강의에 늘 감사드립니다!조성은 드림 + 수정아, 혹시 S 라는 영역 내부에 있는 모든 벡터를 s_1 과 s_2 라는 가중치를 이용해서 b_1 벡터와 b_2 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있다는 의미인가요?  

선생님 안녕하세요, 덕분에 선형대수학을 즐겁게 복습하고 있는 수강생입니다.수업 내용 중에 질문이 하나 있는데요,If p elements are linearly dependent, the number of pivots in A is less than p. 이 문장이 잘 이해가 가지 않습니다. 일단 A는 갑자기 어디서 왜 나온 건가요..? 선생님이 p 개의 이 벡터들을 column vector로 둔 matrix가 A라고 설명하셨는데, 그럼 A는 그 p개의 벡터만으로 이루어진 행렬인가요? 아니면 다른 벡터들도 같이 있는지 제가 어떻게 아나요...?답변에 미리 감사드리고 훌륭한 강의에 항상 감사드려요!! 조성은 드림.

초반부에서 Quadratic form Q(x) = x^TAx의 Maximum/ Minimum value를 결정하는 벡터 x는 각각 matrix A의 EigenValue가 M/m 일때의 Normal EigenVector라고 배웠습니다. 31:30초쯤부터 설명해주시는 부분을 듣고 Multiplicity가 2 이상인 경우의 x를 결정하기 위한 일반화 과정을 제가 제대로 이해한 것이 맞는지 확인하고자 질문합니다. Quadratic Form의 Maximum/minimum을 결정하는 벡터 x는 Matrix A의 EigenValue M/m에 상응하는 Normal EigenVector들로 span한 subspace 내부에 존재하는 모든 orthonormal set이다. 이렇게 이해해도 맞을까요? 제가 질문을 조리있게 잘 했는지 걱정이지만 일단 한번 이렇게 여쭤봅니다.

14:20초쯤 설명해주시는 vj = cvj로 치환해도 orthogonal basis라는 부분에서 c = 0 일때는 안되는거죠?basis에 0벡터가 들어가면 linearly dependent해져버리니까 Basis에는 절대 0벡터가 들어갈 수 없다고 기억하고있어요 따로 c = 0 일때는 안된다는 언급이 없어서 헷갈려서요

안녕하세요! 제목에 나온값을 얻기 위해 전개를 해봤는데 저는 4x_2^2-x_1x_2 가 나오는데 혹시 제가 잘못계산 한걸까요?

이 식에서왜 n*n Matrix A를 Multiplication하면 저런 식이 나온다는건지 이해가 안됩니다.그러니까, matrix A의 정의가 무엇인지 모르겠습니다.그냥 n * n Matrix A라고만 나오는데 어떻게 A와 multiplication을 하면 저런식이 나오는건가요?Matrix A가 어떻게 원래 식에 순차적으로 EigenValue를 곱하는 역할을 하는지 구조적으로 이해를 못하겠습니다.. 추가 질문입니다. Matrix A가 Triangular Matrix일때, diagonal term은 모두 A의 EigenValue라고 했습니다. 그런데 애초에 Matrix A가 Triangular Matrix로 주어질때만 이 공식이성립하는것인가요?Row operation을 통해서 기존의 Matrix A의 형태를 TriangularMatrix로 만들고 나서 row operation으로 만들어진 TriangularMatrix의 diagonal term을 EigenValue로 고르니까 틀린 값이 얻어졌습니다. A에서 row operation해서 만들어진 Matrix는 결국 같은 Matrix 아닌가요? 어째서 row operation을 통해서 얻어진 Matrix의 EigenValue가 기존 Matrix A의 EigenValue와 달라지는지 궁금합니다.