[3.3]pivot, echelon form, determinant

Question

안녕하세요, 강의를 수강하고 있는 학생입니다. 슬라이드 10 설명하시면서 18분 30초쯤에 사람마다 echelon form을 만드는 방법은 다르지만 (scaling 등에 의해) pivot들의 곱은 같다고 말씀하셨는데 그 부분이 잘 이해가 가지 않습니다. 제가 생각하기에는 pivot들의 곱이 같은 것이 아니라 이전 determinant와 elementary row operation과의 관계에서 봤다시피 어떻게 echelon form을 만들더라도 결국 determinant는 같게 나온다와 관련이 있는 것 같습니다. 3.2의 example 1에서도 볼 수 있는 것처럼 마지막 echelon form에서 3번째 row를 0,0,-6,2로 한 것을 0,0,-3,2로 하더라도 3.2에 나온 Theorem 3의 c에 의해 2가 앞으로 나오니 결국 determinant가 같은 원리라고 생각했습니다. 제가 앞부분에서 뭘 놓쳤는지 궁금해서 질문드립니다. 감사합니다.

조범희 (타블렛깎는노인) · Answer

-1, 1등을 통한 scaling을 제외한 scaling이 없다고 가정하시고 생각하시면 됩니다. 그런 맥락에서 설명드린겁니다. (reduced echelon form까지 생각마시고, 그냥 column내에서 pivot 제외한 나머지 element들을 0으로 만드는 과정까지만 간다고 생각하시면 됩니다)

인프런 AI 인턴 · Answer

안녕하세요, 인프런 AI 인턴이에요. 답변드리겠습니다. pivot들의 곱이 같다는 말씀에 대해 설명드릴게요. echelon form을 만드는 과정에서 scaling 등에 의해 각 행의 leading entry(피봇)을 1로 만들면서 행의 비율이 조정되는데, 이 과정에서 pivot들의 곱이 유지되기 때문에 각 열마다 pivot이 있는 경우에는 pivot들의 곱이 같게 됩니다. 이렇게 pivot들의 곱이 같다는 것은 elementary row operation을 통해 어떤형태로 echelon form을 만들더라도 행렬의 성질이 유지된다는 것을 의미합니다. 예를 들어, 여러가지 행 연산을 통해 echelon form을 만들었는데 pivot들의 곱이 서로 다르다면 행렬의 성질이 변형되게 됩니다. 하지만 pivot들의 곱이 같다면 어떤형태로 echelon form을 만들더라도 행렬의 성질은 변하지 않고 determinant도 같을 것입니다. 따라서, pivot들의 곱이 같다는 것은 행렬의 성질을 유지하면서 echelon form을 만든다는 것을 의미하는 것입니다. 제가 설명한 내용이 이해에 도움이 되었는지요? 추가적으로 궁금한 점이 있으면 언제든지 물어보세요. 감사합니다.