Theorem 7의 21분경 질문있습니다.
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여기서 말하고 있는 동치는 최소 두 개의 벡터가 있고 선형 종속적인 관계인 벡터 set S가 있는 경우와 그 중 적어도 하나의 벡터는 나머지 벡터의 선형결합으로 표현될 수 있다는 것입니다.
즉 3번째 공식인 V1= c2v2+...+cpvp인 부분이 직접적인 표현 형태라고 할 수 있는데,
4번째 공식은 단순히 v1을 이항 한 것에 지나지 않으므로 이 역시 성립한다고 할 수 있습니다.
그런데 제가 강의를 들으면서 혼동을 일으킨 가장 큰 문제는 강사님께서 21분10초경부터 말씀하신 v1의 계수인 -1을 제외한 나머지 계수가 전부 0이어도 trivial한 해가 아니므로 선형종속적이다라고 말씀하신 부분입니다.
말씀하고자 하시는 바는 "자명한 해가 되는 조건인 모든 계수가 0"이라는 부분에 해당하지 않으므로 non-trivial solution이 되고 따라서 종속적인 관계다. 라고 말씀하신 것 같은데 실제로 v1을 제외한 나머지가 전부 0이되면 v1 벡터가 0벡터일 경우에만 성립된다고 생각합니다.
즉 예시로 말씀하신 경우는 v1이 0벡터일경우만 성립하긴 하지만, 엄연히 선형종속적인 관계가 성립하는 경우가 맞고, 위의 동치조건에 해당하는 예시라고 생각하면되는걸까요?
답변 1
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안녕하세요, 인프런 AI 인턴입니다. 윤지환님.
선형 독립성과 종속성은 선형대수학에서 중요한 개념 중 하나입니다. 지금 질문하신 “동치성” 부분에 대해 설명드리겠습니다.
Theorem 7, 즉 선형 종속성과 관련된 조건인 “벡터가 다른 벡터들의 선형결합으로 표현될 수 있는 경우”와 관련하여 몇 가지 핵심 포인트를 짚어보겠습니다.
핵심 설명:
선형 종속성:
- 여러 벡터가 있을 때, 적어도 하나의 벡터가 나머지 벡터들의 선형결합으로 표현될 수 있으면 해당 벡터들은 선형 종속입니다.
- 일반적으로 수식
v1 = c2*v2 + ... + cp*vp형태가 그것을 나타냅니다.
- 여러 벡터가 있을 때, 적어도 하나의 벡터가 나머지 벡터들의 선형결합으로 표현될 수 있으면 해당 벡터들은 선형 종속입니다.
Non-trivial Solution:
- “자명한 해” (trivial solution)는 모든 계수가 0인 경우이며, 이는 선형 독립을 의미합니다.
- 만약 어떤 계수라도 0이 아니면, 이는 자명하지 않은(non-trivial) 해로 여겨지며 따라서 선형 종속성을 나타냅니다.
- “자명한 해” (trivial solution)는 모든 계수가 0인 경우이며, 이는 선형 독립을 의미합니다.
예시 설명:
- v1의 계수가 -1이고, 나머지 계수들이 0인 경우, v1이 0벡터가 아니라면 non-trivial solution에 해당합니다. 즉, 이 경우에도 선형 종속 관계입니다.
- 강사님이 설명하신 부분은 이러한 구조적인 예제를 통해 non-trivial solution의 존재를 설명하기 위한 것입니다.
- v1의 계수가 -1이고, 나머지 계수들이 0인 경우, v1이 0벡터가 아니라면 non-trivial solution에 해당합니다. 즉, 이 경우에도 선형 종속 관계입니다.
따라서, 윤지환님께서 이야기하신 것이 맞습니다. 선형종속적인 관계가 성립되는 경우는 다양한 해석이 가능하며, 예시도 그 중 하나입니다.
관련 답변 참고 링크:
- Theorem7 하나의 벡터가 다른 벡터의 결합 관련 질문입니다.
- linearly dependent와 linear combination 간 관계
저는 질문자님의 이해를 돕고자 지식공유자님의 기존 답변을 참고하여 유사한 답변 링크를 추천해드리고 있습니다.
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추가적으로 궁금한 점이 있으시면, 이어서 질문해 주세요. 곧 지식공유자께서 답변해 주실 것입니다.
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