Theorem 2 증명 과정에서 질문이 있습니다!

Question

안녕하세요! 수많은 선형대수 강의들 사이에서 유목생활 끝에 여기로 정착한 대학원생입니다!! 우선 질문을 드리기 앞서, 항상 일목요연한 강의 감사드립니다! 제가 여태 본 선형대수 강의들 중에서 제일 이해가 잘 돼요!! 그래서 여기로 완전히 정착해버렸답니다,,ㅎ 제 질문은, Theorem 2를 증명하시면서 처음에 벡터set들을 linearly dependent로 가정을 하셨는데, linearly dependent 한 vector 들의 linear combination 으로 0 을 만드는 건 trivial solution 외에도 다른 solution 이 존재할 때가 아니었나요?? 오히려 반대로, linearly independent 한  vector들의 linear combination 으로 0 을 만들 때가 trivial solution만 존재하는 경우가 아니었나요??

조범희 (타블렛깎는노인) · Answer

아 여기서 한가지 사항이 암묵적으로 빠져있어서 헷갈릴수있겠군요. Ch1의 theorem 7에서 v1부터 vj-1 (현재 증명과정에서는 v1부터 vp-1에 해당)은 linearly independent한 vector set 입니다. 그렇다면 계수들이 모두 0이여야만 하는 상황이 되는겁니다. 감사합니다.

이명진 · Answer

아! 이해했습니다! 감사합니다!! :D

이명진 · Answer

오 빠른 답변 감사합니다!! 저는 마지막 식, c1(人1-人p)v1 + ... cp(人p-1-人p)vp = 0 에서 trivial solution(c1=c2=...cp=0) 밖에 없다는 부분에서 이해가 되지 않았어요! v1, v2, ... vp가 어차피 linearly dependent하다면, 그 계수들의 조합이 꼭 0이 아니어도 0벡터를 만들 수 있는 것이 아닌가요??!

조범희 (타블렛깎는노인) · Answer

안녕하세요. 강좌 좋게 봐주셔서 정말 감사합니다. 일단 말씀하신것과같이, theorem 2와 별도로 linearly dependent한 vector 들의 linear combiation이 zero vector가 될수있는 vector coefficients들의 solution은 trivial solution 외에도 다른 solution들이 존재할수있는게 맞습니다. 그런데 해당 theorem을 증명할때 v1부터 vr이 dependent라고 가정하고 그점이 모순임을 보이는 상황입니다. 그리고 v1부터 vr까지 dependent이기때문에 ch1의 theorem7에 의해서 c1*v1+ ... + cp-1*vp-1=vp 인 상황입니다. 그리고나서 진행이 되는것이고요. 제가 질문을 잘못이해한거일수도 있으니 한번 다시 천천히 공부해보시고 또 질문주세요 ㅎ 감사합니다.