14:22 LU algorithms 질문입니다

Question

우선 메리 크리스마스입니다 14:22 LU algorithms 이해 안되면 maxtrix algebra 2.X (1<= x<5) 다시 보라고 하셔서 정리한거 봤지만 아래 부분은 잘 이해가 안되네요. elementary matrix는 invertible 하고 in vertible 한 것들의 곱 의 결과 또한 invertible 한데 (E_1 .. E_P) * A = U A  = (E_1 .. E_P) ^(-1)  *U A 옆에 (E_1 .. E_P) 를 옆에 항으로 넘기면 역행렬? invertible하다면 이항 시킬 수 있다? 이렇게 생각 들어서  잘 이해가 안갑니다. 즉, invertible 한 것들의 곱 은 다른 항으로 이항 가능 한건가요? 그렇다면 왜 그런건지 잘 모르겠습니다.

조범희 (타블렛깎는노인) · Answer

올바르게 이해하셨습니다. B와 C라는 행렬이 있다고 해봅시다. 그리고 그 둘은 동일한 행렬이라고하면 이를 수식으로 표현하면, B = C  겠죠? 양변에 A라는 행렬이 앞에 곱해지면 양변이 당영히 동일합니다.  (AB = AC, 어디에 곱해지는지 순서가 중요한거니깐요) 뒤에 곱하는 경우에도 마찬가지고요 (BA = CA) 물론 지금의 예시들은 행렬들의 곱이 정의되는 경우를 가정한 예시입니다. 감사합니다.

조범희 (타블렛깎는노인) · Answer

안녕하세요. 저기서 말하고자 하는 내용을 다시 문장으로 설명하겠습니다. A 앞에 곱해진 elementary matrix들 (E1부터 Ep)까지 모두 개별로 invertible 하기때문에, 그들의 곱도 역시 (Ep ... E1) 도 invertible 합니다 (2.2 정리6 참고). 간략히 Ep ... E1 을 B라는 matrix로 표현해봅시다. BA = U 죠? 그리고 위에서 말했듯, B는 invertible합니다. 즉 A = B^(-1)U 로 표현이 가능하겠죠. 그리고나서 B^(-1)을 2.2단원에서 배운 내용을 활용하여 표현해보자면 E1^(-1) * E2^(-1) ... * Ep^(-1) 로 표현이 되는것이구요. 이해가 안가신다면 또 질문 주세요! 감사합니다.

진호 · Answer

아하 앞이든 뒤이든 동일한 순서로 곱하면 등식이 여전히 성립하는거군요 ㅎ 2.5강의 앞부분이지만 이해되니 좀 후련하네요 늦은 시간에도 답변 고맙습니다ㅎ

진호 · Answer

아 강의 다시 보다가 이해했어요 답변 고맙습니다 ㅎ 생각해보니까    (Ep ... E1) 도 invertible elementary matrix는 invertible invertible한 것들의 multiple 역시 invertible 그러므로 (E_p ... E_1) 의 invertible 존재 원본행렬 과 역행렬의 곱 은 Identity matrix  (E_p ... E_1)A =  U 양변 에 (E_p ... E_1)^(-1) 을 곱하면  이렇게 될수 밖에 없네요  (E_p ... E_1)^(-1)  *    (E_p ... E_1) = I  라서 좌변의     (E_p ... E_1) 부분은 I가 되므로 생략가능해지고  우변에는 I로 곱해질 역행렬의 역행렬이 없으니  (E_p ... E_1)^(-1)  * U로 표현되겠네요 이렇게 이해해도 맞을까요? 음 행렬이므로 양변에 같은 행렬을 곱하는 것이 여전히 등식이 성립하는지는 말이 안될거 같기도 하네요 ㅜ