Theorem7 하나의 백터가 다른 백터의 결합 관련 질문입니다.

Question

백터 하나가 다른 백터의 결합으로 표현되면 dependent이다.에서       c1v1 +c2v2+ ... + cpvp = 0   v1 = (-c2/c1)v2 + ... + (-cp/c1)vp   v1= c2v2 + ... +cpvp   -v1 + c2v2 + ... +cpvp = 0           마지막 -v1 + c2v2 + ... +cpvp = 0 에서    c2v2 + ... +cpvp이 0이라면    -v1 = 0 일떄    -v1이 0이 아니면  dependent라는 말이 이해가 안되네요   c1v1 +c2v2+ ... + cpvp = 0 이니까    Ax = 0   즉, homogeneous system이고    그 얘기는 triavial 아니면 nontrivial solution이 있는 것인데       v1 = (-c2/c1)v2 + ... + (-cp/c1)vp   -v1 + c2v2 + ... +cpvp = 0   -v1 != 0 이어야 dependent.   그런데 나머지가 0이고    -v1이 0이 아니면    c1v1 +c2v2+ ... + cpvp = 0   c1v1 =0에서   c1v1 != 0 이어야 dependent라고 하셨는데 c1v1 != 0이면  만약 c1v1= 7이라 가정했을 떄는  7 0 free variable이 안되니 independet가 아닌가 생각듭니다.   그리고 그 상태에서 만약 v1이 0 이라고 가정하면    양변은 0 = 0 이되어서   그러면 free variable의 조건이 되는게 아닌가 생각드네요   homogeneous에서 free variable이면 dependent인데    그러면 v1이 0이어야 dependent인게 아닌가하고 생각듭니다. 이해가 쉽지 않은데 어떻게 이해해야 바른 이해일까요?

조범희 (타블렛깎는노인) · Answer

안녕하세요. 헷갈릴수있으니, 간단하게 다시 정리해드리겠습니다. v1 부터 vp 까지 두개 이상의 벡터들이 linearly dependent 라는 문장은 무엇과 동치냐면 최소한 하나의 벡터가 다른 벡터들의 linear combination인것과 동치입니다. 여기서 보여야할것은 1. 첫문장이 참일 경우 -> 두번째 문장이 참인것 2. 두번째 문장이 참인경우 -> 첫문장이 참인것 을 보이면 됩니다. 1의 경우는 linearly dependent의 정의입니다. 더 설명할것이 없구요. 2의 경우 v1이 다른 벡터들의 linear combination으로 표현되었다고 해봅시다. (v1이 되게끔 벡터를 정렬함) 그럼 v1 = c2v2+ ... +cpvp 형태로 표현이 될것입니다. 그게 lienear combination의 정의니깐요. 그리고나서 왼쪽항을 오른쪽으로 넘기면 -v1 + c2v2 + ... +cpvp = 0의 식이 나옵니다. 이때 v1앞에 붙은 coefficient가 -1입니다. c2부터 cp까지는 뭐가 되건 상관이 없습니다. 어찌됐건 v1부터 vp까지 앞의 coefficient들을 벡터화해서 보자면 [-1,c2, ..., cp]로 이는 zero vector가 아니게 됩니다. 이는 무엇이죠? 바로 linearly dependent의 정의입니다. (page 3 참조) 답변을 보시고 다시 한번 생각해보시고 이해가 여전히 안된다면 추가질문 주세요. 감사합니다.

진호 · Answer

빠른 답변 고맙습니다!
linearly dependent에 대한 제 이해가 아직 부족하네요.
homogeneous일때 nonTrivial
즉, free variable에 있을때
그 때 dependent인 것과 연결이 잘 안되어서 잘못 이해했네요.
그 부분들 다시 찾아봐야겠네요
피드백 고맙습니다 ㅎ