좋은 강의 정말 감사합니다. 항상 잘 보고있습니다! 이제 겨우겨우 6단원에 들어섰네요.. 6.1을 듣던 중간에 복습을 완료하고 진행 중에 4단원의 Diagonalization 에서 A행렬의 eigenvector 들로 행렬 P와 D로 분해하는 것과 Example3 에서 orthonormal basis 들로 행렬 P와 D로 분해한 것의 단순한 차이점? 이유? 가 궁금해서 질문을 남겼습니다. 21:49 까지 듣다가 궁금해서 적은 내용입니다. 혹시나 제가 질문 드린 내용에 대한 설명이 강의 뒷부분에서 나온다면 양해 부탁드리겠습니다. 질문1. A 행렬의 eigenvector {v_1, v_2, v_3} 들을 구하고 그 상태에서 {v_1, v_2, v_3} 를 가지고 행렬 P 와 D를 Diagonalize 하여 구하는것이 아니라 $\lambda = 7$ 인 eigenspace 를 subspace 로 두고 이 subspace 에 orthogonal basis 를 찾는 방법인 Gram-Schmidt 과정을 통해 나온 orthogonal basis들을 normalize 한 orthonormal basis 인 {u_1, u_2, u_3} 를 Diagonalize 하여 행렬 P 와 D를 구하는 이유는 말 그대로 Orthogonally Diagonalize 라는 대각화의 방법 중 하나이기 때문인가요? 질문2.그렇다면 행렬 A 의 eigenvector 들로 Diagonalize 하여 P, D 로 분해 한 것과 행렬 A의 eigenvector 들의 orthonormal basis 를 Diagonalize 하여 P,D 로 분해한 것이 분명 다를 것인데 여기서 유일한 차이점은 D를 제외하고 행렬 P 인데 정확히 행렬 P 가 기하학적으로 무엇을 나타내는지? 어떤 성질을 나타내는지? 가 궁금합니다. 질문3.단순한 행렬의 대각화와 위 내용과 같이 대칭 행렬의 orthonormal basis 를 대각화를 한다는 것이 기하학적으로 어떤 형태로 나타나는지가 궁금합니다..? 혹시 LU 분해, QR 분해와 같이 대각화 즉 eigendecomposition 이라는 수식어가 붙은 이유는 단순히 분해하는 과정이기 때문인건가요? 뭔가 질문이 이상하고 많고 복잡해서 죄송합니다. 질문을 적으면서 어렴풋이 정리가 되면서 천천히 받아들여지는 느낌입니다.

항상 좋은 강의 제공해주셔서 감사드립니다. General CasePA = LU 설명 중에 P가 어떻게 결정되는지에 대한 질문입니다. general case 예제에서 row operation 중 interchange를 두 곳에서 시행하셨는데1row - 4row2row -3row 그렇다면 여기 제 생각인데P 의 original한 모습은 Identity matrix 이므로 AI = A 가 되니깐  Identity matrix 의 형태에서 어떤 row 들 끼리 interchange 했는지만 반영 해주면 그것이 P가 된다고 봐도 될까요? 예를 들어,Identity Matrix1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1row - 4row interchange를 했으므로0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 3. 2row - 3row interchange 를 했으므로 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0최종적으로 P 의 모습은 이렇게 결정되는게 맞는건가요?

정리7에 따르면 최소한 하나의 vector 가 다른 vector의 linear combination으로 표한가능하다면 2개 이상의 vector 는 linearly dependent 하다라고 볼 수 있는데 제가 헷갈리는 부분은 Practice Problems 3 번입니다.일단 {u,v,w,z}는 3x4 matrix 이고 free variable 이 존재 -> non trivial solution 이므로 linearly dependent 한데 3 번 문제의 의도를 정확히 모르겠습니다. {u,v,w,z}가 linearly dependent 하다라고 하면theorem 7 에 따라 벡터 w 가 u,v,z 의 linear combination 으로 표현가능한게 맞지 않나요?이게 연습문제 답안인데요,여기서 이해가 안되는게3번 답안중에서 In this practice problem, w is not a linear combination of u,v, and z.   -> 이게 왜 맞는말인지 이해가 안됩니다.이미 {u,v,w,z} 는 linearly dependent 이고 theorem 7 의 필요충분조건에 따라 2개 이상의 vector 가 linearly dependent 이므로 w is linear combination of u,v, and z 가 맞다고 생각하는데.....  혹시 제가 잘못 이해했거나 틀린 부분이 있을까요?추가적으로 linearly dependent 하다는 것은 w 가  Span(u,v,z) 상에 존재한다고 이해했는데예를 들어 밑의 그림은 R3 공간에서 linearly dependent 할 경우 w in Span{u,v} 인데연습문제 그림을 보면 R4 공간에서 w in Span{u, v, z} 가 되어야 하는게 아닌지.그렇다면 그림에서 w 는 Span 영역에 있는게 올바른게 아닌지 궁금합니다..!!!

xhat이 x4를 free variable로 가지고 있는데 이것을 기하학적으로 어떻게 해석해야하는건지 궁금합니다.

row echelon form으로 reduce 됐을 때 만약 [0 ,,, 0 b]와 같은 행이 없는 상태라면 무조건 해를 한개 이상 갖는다고 생각해도 되나요?

제목 그대로 스터디원을 모집하고 싶은데, 사전에 선생님의 양해를 구해야할꺼같아서 글 남깁니다 🙂 물론 강의를 구매한 분들을 스터디원으로 모집하여, 스터디를 할 생각입니다 🙂

그람슈미츠 프로세스 증명 시 u1 v1을 같다고 하고 시작하셨는데요. orthonamal vector는 크기가 1인데 기존의 벡터가 크기가 1이라는 보장이 없잖아요? 근데 어떻게 저런 가정이 갑자기 되는지 잘 모르겠습니다 ㅠ

강의 1.4에서 A가 mxn matrix였는데 왜 각각의 열벡터 a1,,,an으로 다시 변환하는지 이유가 있을까요?

1.2 강의에서 pivot colum과 pivot position에 대해서는 설명해주셨는데 pivot에 대해서는 말을 안해주셔서요 pivot이 a leading entry of row라고 생각하면 될까요?

강의에서 row equivalent라는 용어는 이제 row reduction을 통해서 얻을 수있다는 것을 1.1에서 설명하셨다고 했는데 강의자료에는 row reduction이 등장하지 않아서요 혹시 왜그런지 알 수 있을까요

잘 이해가 되지않습니다...

1분에서 행사이즈가 m이기 때문에 Rm에 있다고 하셨는데R의 크기를 결정하는건 n아닌가요? matrix에서n이 늘어나면 x1 x2 x3에서 x1 x2 x3 x4 처럼 늘어나니까n의 크기가 R의 크기를 결정하는 것 같은데 왜 m이 결정하는지 답변부탁드립니다

b가 R^m에 해당된다고 했을때, Ax=b has a solution이랑The columns of A span R^m이 왜 같은말인지 이해가 안됩니다. 예시로 설명 부탁드려도 될까요?

free variable인 변수를 파악하는것을 목표로 잡을때, 만약에 문제에서 주어진 행렬이 echelon form이 아니라면 echelon form으로 만들어놓고 "leading position에 해당되지 않는 변수 = free variable" 법칙을 적용하면 되는건가요?

예전에 이미 강좌를 다 보긴 했지만 다시 복습하면서 씹고 뜯고 맛보고 있습니다 :) (벡터 calculus1 보고 보니까 더 이해가 잘 되는 느낌입니다.) 강의 중간에Iterative Method로 O(n)만에 문제를 푸는 경이로운 속도 향상을 이룰 수 있다는 말씀을 수업 중에 하셨는데 교과서 chapter 5.8 Iterative Estimates For Eigenvalues에 나오는 Power Method를 말씀하신 걸까요? 이 부분으로 공부하고 Python으로 선형대수를 프로그래밍으로 활용하는 강의를 보는 것으로 Iterative method를 공부하는데 충분할지 궁금합니다  좋은 강의 감사합니다.

consistent -> trivial Solutions -> 해: 0벡터 1개만 존재 inconsistent -> nontrivial Solutions -> 해: 0벡터가 아닌 해 1개 or 무한히 많은 해 존재위처럼 분류한 것이 맞나요?

-w + cu + dv = 0식에서 상수 c와 d는 0이어도 w는 -1 계수를 가지므로 non-trivial solutions 를 가진다는 것이 이해가 되지 않습니다.위 방정식을 일부 가공한 "-w = 0" 에서 w가 가질 수 있는 해의 예시가 어떻게 될까요? 혹은 실제 행렬을 사례로 설명해주실 수 있으실까요? w가 벡터인것인가요? 여러개념들이 충돌해서 헷갈리네요..

span{u,v}에서 u는 ㅣ v는 ㅡ 로 가는데 어떻게 합쳐져서 저런평면 형태가 나오는 거죠??

질문드릴 부분은 6.4강의 1시 1분 부분입니다. Ur이 Col A의 basis이니, transpose(Ur) b 만 계산해도, b 벡터를 Col A에 대해 Projection 한다고 생각합니다.그래서 transpose(Ur)b 가 hat(b)가 되어야 할 것 같은데,Ur transpose(Ur)b가 hat(b)가 되는 이유가 있을까요? 또, Ur transpose(Ur)b와 transpose(Ur)b 사이 의미상 차이를 알려주실 수 있을까요?(orthgonal projection of b onto Col A 같이 수식이 제공하는 의미를 말씀해주셨으면 해요.) 강의가 큰 도움이 되고 있습니다. 감사합니다.

안녕하세요 선생님, 질문들이 조금 많아 정리해서 여쭙고 싶습니다. One to One은 수학에서의 '일대일 함수'와 같은 개념으로 이해했슨데,ONTO의 경우 수학에서의 '일대일 대응'과는 다른 의미인가요? One to One은 서로 다른 x에 대해 무조건 서로 다른 image가 대응되어야 한다고 알고 있습니다.다만 ONTO는 단지 codomain과 range가 (공역 = 치역) 같아야 한다고 알고 있는데,혹시 ONTO도 '일대일대응'과 같이 '공역 = 치역' 이라는 조건과 동시에 '일대일 함수'의 조건 또한 만족해야 하나요? 아니면 단지 공역 = 치역 이기만 하면 되는건가요? ONTO와 One to One을 구별하는 방법 중에 ONTO의 경우 각 Row 마다 pivot이 존재해야 하므로: 행 개수 < 열 개수인 가로로 긴 행렬One to One의 경우 각 Column마다 pivot이 존재해야 하므로: 행 개수 > 열 개수인 세로로 긴 행렬 라는 것을 교재에 수록된 문제 솔루션에서 봤습니다. 이렇게 이해해도 되는건가요? 만약 된다면, Row마다 pivot / Column마다 pivot이 존재해야 한다는 뜻을 정확히 모르겠습니다. 이를 어떻게 다른 조건과 동치로 해석해야 하나요?그리고 맞을 경우에, 행 개수 = 열 개수인 정사각행렬은 ONTO인지 One to One인지 어떻게 판단하나요? ONTO를 판단하는데 있어서, Columns of A가 R^{m} space를 span하는 것이 필충조건이라고 배웠습니다. 그런데 Theroem 4 - (d)에서 A가 각 Row 마다 pivot position이 존재하는 것과 동치라고 알고있습니다.  이는 [0 0 0 ... 0 b]와 같은 행이 존재하지 않는다는 의미인데요, T와 같은 standard matrix의 경우 coefficient matrix이기 때문에 [0 0 0 ... 0 b] 가 아니라 [0 0 0 ... 0 ]의 형태로 b가 빠지는 것으로 알고 있습니다.그렇기 때문에 저는 이를 영행 으로 판단하고 ONTO의 필요충분 조건은 '영행이 없기만 하면 된다'라고 판단했는데 혹 이렇게 판별해도 문제가 있을까요? 선생님, 강의가 공부하는데 정말 큰 힘이 되고 있습니다. 긴 질문글 다 읽어주셔서 정말 감사합니다! 날씨도 더운데 고생 많으십니다 ㅜㅜ