안녕하세요. 언제나 좋은 강의 감사드립니다. 다름이 아니오라 $ \mathbb{R}^{n} $space에서 $ n \times n $ 행렬 $ A, B $ 가 similar할 경우, 즉 $ A = PBP^{-1} $ 관계가 성립할 때 행렬 $ P $ 가 어떤 열벡터로 구성되는지 궁금해서 글남깁니다. 질문은 총 2가지이며, 아래와 같습니다. Q1. diagonalization이 가능할 때 P의 열벡터 행렬 $ A $ 가 diagonalization이 가능할 경우 행렬 $ P $ 는 linearly dependent한 eigen vector로 구성된 걸로 알고있는데, 그렇다면 eigen vector들은 $ \mathbb{R}^{n} $ 스페이스의 basis 벡터 중 일부인가요? Q2. diagonalization이 가능하지 않을 때 P의 열벡터 행렬 $ A $ 가 diagonalization이 가능하지 않을 경우, 행렬 $ P$ 는 $ \mathbb{R}^{n} $ 스페이스의 basis 벡터 중 일부로 구성되어 있나요? 아 혹시 $ n \times n $ 행렬 $ P $ 는 similarity transformation 정의상 invertible하기 때문에 그 행렬의 열벡터들은 선형독립이고, $ \mathbb{R}^{n} $ space를 span하기 때문에 당연히 $ \mathbb{R}^{n} $ space의 basis가 되는건가요??
영상에선 14분 즈음 입니다.v1의 coefficient가 nonzero 하므로 nontrivial solution이 존재하게 되어 linearly dependent가 된다는데,v1의 coefficient는 -1이고, c가 만약 0이라면 -v1=0인건데 그럼 v1=0이라는 trivial solution만 존재하므로 independent인거 아닌가요?(제가 뭔가 정의를 요상하게 이해하고 있는 것 같기도 합니다.)
좋은 강의 정말 감사합니다. 항상 잘 보고있습니다! 이제 겨우겨우 6단원에 들어섰네요.. 6.1을 듣던 중간에 복습을 완료하고 진행 중에 4단원의 Diagonalization 에서 A행렬의 eigenvector 들로 행렬 P와 D로 분해하는 것과 Example3 에서 orthonormal basis 들로 행렬 P와 D로 분해한 것의 단순한 차이점? 이유? 가 궁금해서 질문을 남겼습니다. 21:49 까지 듣다가 궁금해서 적은 내용입니다. 혹시나 제가 질문 드린 내용에 대한 설명이 강의 뒷부분에서 나온다면 양해 부탁드리겠습니다. 질문1. A 행렬의 eigenvector {v_1, v_2, v_3} 들을 구하고 그 상태에서 {v_1, v_2, v_3} 를 가지고 행렬 P 와 D를 Diagonalize 하여 구하는것이 아니라 $\lambda = 7$ 인 eigenspace 를 subspace 로 두고 이 subspace 에 orthogonal basis 를 찾는 방법인 Gram-Schmidt 과정을 통해 나온 orthogonal basis들을 normalize 한 orthonormal basis 인 {u_1, u_2, u_3} 를 Diagonalize 하여 행렬 P 와 D를 구하는 이유는 말 그대로 Orthogonally Diagonalize 라는 대각화의 방법 중 하나이기 때문인가요? 질문2. 그렇다면 행렬 A 의 eigenvector 들로 Diagonalize 하여 P, D 로 분해 한 것과 행렬 A의 eigenvector 들의 orthonormal basis 를 Diagonalize 하여 P,D 로 분해한 것이 분명 다를 것인데 여기서 유일한 차이점은 D를 제외하고 행렬 P 인데 정확히 행렬 P 가 기하학적으로 무엇을 나타내는지? 어떤 성질을 나타내는지? 가 궁금합니다. 질문3. 단순한 행렬의 대각화와 위 내용과 같이 대칭 행렬의 orthonormal basis 를 대각화를 한다는 것이 기하학적으로 어떤 형태로 나타나는지가 궁금합니다..? 혹시 LU 분해, QR 분해와 같이 대각화 즉 eigendecomposition 이라는 수식어가 붙은 이유는 단순히 분해하는 과정이기 때문인건가요? 뭔가 질문이 이상하고 많고 복잡해서 죄송합니다. 질문을 적으면서 어렴풋이 정리가 되면서 천천히 받아들여지는 느낌입니다.
항상 좋은 강의 제공해주셔서 감사드립니다. General Case PA = LU 설명 중에 P가 어떻게 결정되는지에 대한 질문입니다. general case 예제에서 row operation 중 interchange를 두 곳에서 시행하셨는데 1row - 4row 2row -3row 그렇다면 여기 제 생각인데 P 의 original한 모습은 Identity matrix 이므로 AI = A 가 되니깐 Identity matrix 의 형태에서 어떤 row 들 끼리 interchange 했는지만 반영 해주면 그것이 P가 된다고 봐도 될까요? 예를 들어, Identity Matrix 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1row - 4row interchange를 했으므로 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 3. 2row - 3row interchange 를 했으므로 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 최종적으로 P 의 모습은 이렇게 결정되는게 맞는건가요?
정리7에 따르면 최소한 하나의 vector 가 다른 vector의 linear combination으로 표한가능하다면 2개 이상의 vector 는 linearly dependent 하다라고 볼 수 있는데 제가 헷갈리는 부분은 Practice Problems 3 번입니다. 일단 {u,v,w,z}는 3x4 matrix 이고 free variable 이 존재 -> non trivial solution 이므로 linearly dependent 한데 3 번 문제의 의도를 정확히 모르겠습니다. {u,v,w,z}가 linearly dependent 하다라고 하면 theorem 7 에 따라 벡터 w 가 u,v,z 의 linear combination 으로 표현가능한게 맞지 않나요? 이게 연습문제 답안인데요, 여기서 이해가 안되는게 3번 답안중에서 In this practice problem, w is not a linear combination of u,v , and z. -> 이게 왜 맞는말인지 이해가 안됩니다. 이미 {u,v,w,z} 는 linearly dependent 이고 theorem 7 의 필요충분조건에 따라 2개 이상의 vector 가 linearly dependent 이므로 w is linear combination of u,v, and z 가 맞다고 생각하는데..... 혹시 제가 잘못 이해했거나 틀린 부분이 있을까요? 추가적으로 linearly dependent 하다는 것은 w 가 Span(u,v,z) 상에 존재한다고 이해했는데 예를 들어 밑의 그림은 R3 공간에서 linearly dependent 할 경우 w in Span{u,v} 인데 연습문제 그림을 보면 R4 공간에서 w in Span{u, v, z} 가 되어야 하는게 아닌지. 그렇다면 그림에서 w 는 Span 영역에 있는게 올바른게 아닌지 궁금합니다..!!!
예전에 이미 강좌를 다 보긴 했지만 다시 복습하면서 씹고 뜯고 맛보고 있습니다 :) (벡터 calculus1 보고 보니까 더 이해가 잘 되는 느낌입니다.) 강의 중간에 Iterative Method로 O(n)만에 문제를 푸는 경이로운 속도 향상을 이룰 수 있다는 말씀을 수업 중에 하셨는데 교과서 chapter 5.8 Iterative Estimates For Eigenvalues에 나오는 Power Method를 말씀하신 걸까요? 이 부분으로 공부하고 Python으로 선형대수를 프로그래밍으로 활용하는 강의를 보는 것으로 Iterative method를 공부하는데 충분할지 궁금합니다 좋은 강의 감사합니다.
-w + cu + dv = 0 식에서 상수 c와 d는 0이어도 w는 -1 계수를 가지므로 non-trivial solutions 를 가진다는 것이 이해가 되지 않습니다. 위 방정식을 일부 가공한 "-w = 0" 에서 w가 가질 수 있는 해의 예시가 어떻게 될까요? 혹은 실제 행렬을 사례로 설명해주실 수 있으실까요? w가 벡터인것인가요? 여러개념들이 충돌해서 헷갈리네요..
