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벡터와 관련된 기본적인 질문

21.07.17 09:58 작성 조회수 173

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안녕하세요 항상 좋은 강의 감사드립니다.

33:00 쯤 "벡터 v는 tangent plane에 속해있지 않다." 라고 강의해주신 내용을 듣고 다시 한번 강의 초반으로 돌아가 벡터의 기본적인 정의에 대해서 복습해보았는데요, 정리하다보니 몇 가지 헷갈리는 부분이 있어 질문드립니다!

1.

일반적으로 벡터 a = (a1, a2) 라는 표현에서 a1과 a2의 의미는, 벡터의 시점을 (0,0)으로 두었을 때 끝점이 (a1, a2) 가 되는 것이라고 생각해도 될까요? 즉 어떠한 벡터 a 는 2차원 공간에서 방향과 크기가 같은 형태로 무수히 많이 존재하지만 일반적으로 그 벡터를 나타낼 때는 (a1, a2)라고 나타내는데, 그 벡터들이 공유하는 하나의 component form이 나타내는 위치 (a1, a2)는 벡터의 시점을 원점으로 두었을 때의 끝점의 위치와 같다고 보면 될까요?

2.

"벡터 v는 tangent plane에 속해있지 않다." 라는 설명과 관련해서 앞서 다른 분이 남긴 질문에 대한 답변을 보면

벡터 v의 시작점이 원점이게 되면 tangent plane에 속하지 않기 때문에 그렇다고 되어있습니다.

따라서 tangent vector v는 tangent line에도 속해있지 않고, 다만 R3 space에 속해있다고 이해하였습니다.

그렇다면, 일반적으로 벡터는 방향과 크기로 존재하는 것이기 때문에 "어떠한 직선이나 평면에 속한 벡터" 가 존재하긴 어려운 것인가요? (직선/평면에 속하지 않은, 시작점을 달리하는 동일 벡터가 존재하기 때문에?)

3.

2번 질문 내용과 마찬가지로, 어떠한 평면을 span하는 벡터가 꼭 그 평면에 속해있다고 볼 수는 없는건가요?

예를 들어 3차원 공간에서의 a = (1,0,0), b= (0,1,0)에 의해 span되는 xy plane을 생각했을 때, a가 시작점이 xy plane에 속하지 않는 경우도 있기 때문에 "a가 xy plane에 속해있다." 라는 표현은 잘못된건가요??

추상적 개념인 벡터를 너무 좌표처럼 생각해온 탓에 헷갈리는 부분이 많아 기본적인 내용임에도 질문들이 길어졌네요ㅠㅠ 양해부탁드립니다..! 감사합니다!

답변 2

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박인준님의 프로필

박인준

질문자

2021.07.18

답변 감사드립니다!

3번 질문은 해결되었는데 2번이 아직 부정확하여 추가로 질문드립니다.

그림 상의 c(0) = x0에서의 tangent vector는 v 벡터이고, 앞서 배운 tangent line 의 linear approximation의 정의에 의해  

l = f(x0) + f'(x0)(x - x0)

로 구해보았습니다. 그런데 x0에서의 tangent line 중에 원점을 지나는 line이 나올 수 있나요..? 그림 상으로 생각했을 때도 그렇고, 모든 tangent line이 tangent plane에 속해있는 것을 고려했을 때도 그렇고 "tangent line이 원점을 지나는 것으로 생각했을때" 라는 말이 이해가 잘 가지 않습니다.

다만, 제가 나름의 3번의 답변을 근거로 이해한 바로는 

시작점이 다른 동일 벡터가 무수히 많다고 해도 어쨋든 그 벡터가 어떠한 plane을 span하기 때문에 subpsace에 속해있다고 봐야하는 것처럼,

tangent vector 또한  시작점이 다른 동일 벡터가 무수히 많다고 하더라도 그 벡터가 tangent line을 span(span이라는 표현이 맞는지는 잘 모르겠지만)하기 때문에 속해있다고 이해해도 괜찮을까요?? 위의 tangent line의 linear approximation의 구성을 보더라도 tangent vector가 구성요소로 들어가니까요.

감사합니다!!

아참, 우리가 배우는 tangent line은 특정 포인트를 포함한것으로 배웠기 때문에 제 설명이 좀 잘못되었다고 볼 수 있네요.

tangent plane에 orthogonal 한 line들을 의미했던거로 답변을 생각하시면 될것 같습니다.

또한 "속해 있다"라는 표현이 다시 보니 좀 애매모해서, "평행하다"로 정정하여 생각하시는게 좋을 것 같습니다. (기존 답변 포함)

예시로 든 벡터들이 해당 line혹은 plane에 (subspace)에 "속해" 있기 위해서는 벡터를 좌표라고 생각하시면 편리합니다.

예를들어 원점을 지나는 line에 속하는 벡터는 해당 line과 평행한 모든 vector에 해당되겠고,

원점을 지나지 않는 line의 경우에는 해당 line에 평행한 벡터는 해당 line에 속하지 않습니다. (원점에서부터 거리가 떨어져 있기 때문에 해당 원점에서 해당 line까지 닿는 벡터를 더해줘야겠죠? line의 vector form을 생각하시면 됩니다.)

즉 "속해있다" 라는 단어를 쓰기위해서는 line이건 plane이건 vector form으로 표현된것을 원점에서부터의 "좌표"라고 생각하시면 되고.

제가 강좌중에 속해있다라고 표현한것들은, "평행하다"라는 의미로 해석하시면 됩니다.

조금더 신중히 용어를 썼어야했는데 헷갈릴만 하네요... 죄송합니다.

제가 답변한것을 한번 천천히 생각해보시고, 추가 질문이 있다면 또 알려주시길 바랍니다.

감사합니다.

박인준님의 프로필

박인준

질문자

2021.07.18

빠른 답변 정말 감사드립니다!

제가 이해한 것이 맞는지 한번만 더 질문드립니다..!

설명해주신 "속해 있다.", 혹은 "평행하다."라는 표현이 좀 더 쉽게 말해 그 line과 plane에 "놓여 있다"라는 의미인가요?

예를 들어 2차원 좌표계로 단순하게 생각하였을 때,

(1,1), (2,2) 등의 벡터들은 y =x 라는 line에 놓여 있기 때문에 그 line에 평행하지만(속하지만),

(1,2), (2,3) 등의 벡터들은 시작점을 원점으로 하였을 때 y = x + 1라는 line 위에 놓여 있지 않기 때문에 그 line에 평행하지 않은 건가요?(속하지 않는 건가요?)

(직전에 주신 답변을 일단은 이런식으로 이해하였습니다!)

그렇게 하니 강의 자료의 예시 tangent vector v는 벡터의 시점을 원점으로 하였을 때 해당 tangent plane의 위에 놓여 있지 않기 때문에 평행하지 않다(속해있지 않다)라는 식으로 이해가 되었습니다!

+ 그런데 이런 식의 이해가 맞다면, 강의자료의 tangent vector v는 해당 tangent plane뿐만 아니라 해당 tangent line에도 평행하지 않은 것 아닌가요??(속하지 않은 것 아닌가요??) 첫 답변에서는 tangent line에는 속한 것이(평행한 것이) 맞다고 하셨어서 제가 이해한 내용과 상충되어서 다시 한번 질문드립니다..

+ 다시 강좌에서 이 질문 관련 부분을 천천히 보았더니 강좌에서 이 부분을 설명하실 때 "속해있다"라는 표현과 함께 "놓여있다"라는 이미 사용하셨었네요!

속한것과 평행하다는 다른 의미로 해석하시면 됩니다.

평행하다는 일반적인 평행의 개념이고, 속해있음은 벡터를 좌표형태로 생각하였을때, 해당 line혹은 plane에 속하는지를 나타낸다고 생각하시면 됩니다.

박인준님의 프로필

박인준

질문자

2021.07.22

감사합니다!

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안녕하세요.

1.

말씀하신것처럼 벡터의 시작점을 0, 0으로 두었을때 끝점이 a1, a2라고 생각하시면 됩니다.

2. 

tangent line을 원점을 지나는 것으로 생각하시면, tangent line과 tangent vector를 동일한 방향을 지닌다는걸 아실 수 있을겁니다. (tangent line 자체는 무수히 많겠죠?)

그게 아니더라도 방향이 같기 때문에 (혹은 반대라 생각하셔도) tangent line에 속한다고 볼 수 있습니다.

또한 벡터의 시작점이 0, 0일 필요는 없다라는 점을 고려하시면서 좀 더 생각해보시는게 좋을 것 같습니다.

한번 고민해보시고 이해 안가는 부분은 다시 질문 주시면 감사하겠습니다.

혹은 3번 답변을 보시면 더 도움이 될 것 같습니다.

3.

속해있다라는 표현때문에 좀 헷갈리신 것 같습니다.

말씀하신 벡터는 해당 plane에 속해있다고 봐야합니다.

시작점이 다른 동일 벡터가 무수히 많지만, 어찌됐건 해당 plane을 span하기때문에 subspace에 속해있다고 봐야지 맞습니다. (선형대수학개론을 들으셨으면 이해가 되리라 생각합니다.)

해당 plane에 두 벡터는 평행합니다.

부족한 답변이 있으면 부담없이 짧은 질문이라도 마음껏 질문주세요.

감사합니다.