2.6 Gradient and Tangent Planes to Level Sets 질문입니다 :)

미해결질문
Ki Beom Kwon 프로필

안녕하세요 선생님 :)

Gradient and Tangent Planes to Level Sets에서 세 가지 질문이 있습니다.(강의에서는 29:25초와 33:00초 부분입니다!)

1. 29:25초 부분에 그려진 Level Surface와 Path를 보면 Level Surface나 curve 둘 다 반듯하지 않고 올라갔다가 내려갔다가 하는 것 같아서 질문드립니다. Level Surface는 함수값이 같은 순서쌍들의 집합으로 알고 있는데 그렇다면 곡면(?)이 아닌 평면이 되어야 하지 않나요? 그리고 path c에 의한 curve가 Level Surface에 전부 놓인다면, curve는 곡선이 아닌 직선이 되어야 하지 않나요? 

2. 그래서 제 생각에는 Tangent Plane과 Level Surface는 극점(?)이 아닌 점에서 정의된다면 겹치지 않을 것 같고, 둘 다 극점에서 정의된다면 겹쳐질 것 같은데 맞는지 궁금합니다

3.  33:00초 부분에서 '벡터 v는 Tangent Plane에 놓여있지 않다'는 이유는 차원이 달라서 그런 것인가요? 벡터 v는 애초에 3차원 공간에 정의된 벡터이므로 Tangent Plane에 속하지 않지만, Tangent Line은 Path C에 의해 만들어진 Curve(2차원)이므로 Tangent Plane에 속한 것이라고 생각했는데 맞는지 궁금합니다.  

좋은 강의 만들어주셨고, 질문에 대한 답도 잘 해 주셔서 항상 감사합니다. :)

조범희 (타블렛깎는노인) 프로필
조범희 (타블렛깎는노인) 9달 전

안녕하세요.

답변을 하나씩 드려보겠습니다.

1. 간단한 예시를 생각해봅시다. f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2 함수를 생각해봅시다. f(x, y, z) = 1인 level surface는 반지름이 1인 구체표면을 나타내죠? 이는 평면이 아님을 쉽게 알 수 있죠? f(x, y, z) = c를 만족하는 x, y, z 모임은 평면이라는 보장이 없습니다. 그렇기때문에 당연히 path c에 의한 커브는 직선일 필요는 없습니다.

2. 1번 답변으로 다시 생각해보시길 바랍니다. level surface가 평면일 경우 모든 점에서의 tangent plane은 level surface 그 자체와 동일할겁니다. 그게 아닐 경우는 tangent plane은 level surface의 linear approximation이 됩니다 (추후에 배웁니다)

3. 벡터의 정의를 다시 생각해봅시다. 벡터는 시작점과 크기만 주어진 아이입니다. 그림에서 보이는 vector v 는 free vector이며 (1.1단원에서 배움), 벡터 v의 시작점을 원점으로 옮겨서 bound vector를 한번 상상해봅시다.
그림상에서 평면은 원점을 포함하고 있지 않으므로 (포함하는 경우도 있겠으나, 일반적인 상황을 설명하기위함), vector v는 평면상에 놓이지 않습니다. 하지만 그 평면과 parallel, 즉 평행한 상황입니다. 차원은 동일하게 둘다 R3에 있습니다. (혹시라도 subapace의 차원을 염두한것이라면 평면의 subspace의 dimension은 2차원이긴 합니다. 하지만 여기서 이를 논할 이유는 전혀 없습니다)

벡터가 무엇이었는지 다시 한번 복습하시길 바랍니다.

어찌보면 너무 쉬워서 대부분 사람들이 대충 공부하고 넘어가는데 결국 기본적인 문제에서 헷갈림을 야기할수 있는 것 같습니다.

그리고 질문 주셔서 너무 너무 감사합니다. 수강생분들이 어떤점을 궁금해하는지 저도 궁금하고 강좌의 개선점을 찾을 수 있는데, 많은 분들이 질문을 안주셔서ㅠ,ㅠ 이런 질문은 솔직히 엄청 반갑습니다.

앞으로도 부담없이 질문주시길 바랍니다.

우선 답변이 도움이 되었으면 좋겠고, 제가 질문을 잘못 이해했거나 답변에 부족한게 있다면 다시 한번 질문 주시면 감사하겠습니다.

감사합니다.

Ki Beom Kwon 프로필
Ki Beom Kwon 9달 전

아 그렇네요! Level Surface가 항상 2차원 평면일 필요가 없지요. 제가 Level Surface의 차원을 너무 고정해서 생각한 것 같습니다. 감사합니다. 1번과 2번은 깔끔하게 해결했습니다. 그리고 3번은 말씀하신대로 Sub-Space를 생각했었는데요. 1월말까지 벡터미분 기초를 복습하면서 한 번 더 생각해보고 그래도 이해 안 되면 다시 질문드리겠습니다. 감사합니다 :)

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