안녕하세요! 강의 정말 잘 보고 있습니다. 좋은 강의 감사드려요 제가 궁금한 것은강의 1.8의 Example 3(마지막 예제)에서 pivot position이 2개이니까 row reduction 없이 not $\mathbb{R}^2$ onto $\mathbb{R}^3$ 라는 것을 알 수 있다고 하셨는데어떻게 pivot position이 2개라는 것을 바로 알 수 있는지 궁금합니다. 제가 일시정지 해놓고 그냥 해봤을 때는 row reduction을 해서 echelon form을 구하고, 이를 바탕으로 pivot position이 2개라는 것을 알 수 있었습니다. 더 좋은 방법이 있는걸까요?

강의에서 제시해주신 2번 예시에서 조건이 1. All nonzero rows are above "any" rows of all zeros라고했는데, 여기 조건에서 "any"이기 때문에 모든 nonzero row가 존재할 경우 zero row가 있으면 그때 nonzero row아래에 있어야한다는 걸 말씀하신거지요? 만약에 all zero row가 없다면 2번예시처럼 all zero row가 없어도 Echelon form을 만족한다고 이해하면 될까요?감사합니다.

금융수학에서 람다 기호는 어떤 의입니까?

반갑습니다.행렬의 정의와 연산에x+2y+ z=1 -- (1) 1 2 1 13x+7y+3z=2 --(2) 3 7 3 24x+8y+2z=8 --(3) 4 8 2 81 식에 3을 곱하여 2식에 더하면-3 -6 -3 -3 3 7 3 2 4 8 3 2 로 계산되어  0 1 0 -1 4 8 3 2 가 되지 않 1 2 1 1 0 1 0 -1 4 8 3 2 가 되는이유가 궁금합니다,질문 : 1 2 1 1 을 2단계 식에 그대로 두는 이유가 무엇인지요  

0.1 선형대수 소개를 보면 Group Theory 내용도 다룬다고 나와있습니다. 하지만 강의내용에는 Group Theory이 나와있지 않습니다. 혹시 향 후 업데이트 예정이실까요?

제작 예정 여부와 일정을 알고 싶습니다!

안녕하세요. 항상 높은 수준의 강의 영상을 제공해주셔서 감사합니다.Theorem 4를 증명하는 과정에서 P 행렬이 invertible하기 때문에 linearly independent라는 점은 이해했는데, nonzero라는 점은 어떻게 도출이 된 것인가요?

안녕하세요. 어떤 벡터의 집합이 linearly independent인지 dependent한지 판별하는 부분의 해당 벡터의 linear system이 homogeneous linear system인 경우에만 해당되나요?

안녕하세요 선생님. 강의 너무 잘 듣고 있습니다. 저도 아래 분들의 궁금증처럼 Example2에서 inconsistent인 줄 알았는데 답변에서 augmented materix가 아니라는 얘기를 듣고 이해했습니다. 여기서 제가 드는 궁금증은 어떤 Matrix가 Augmented인지 coecfficient인지는 문제 혹은 문장에서 항상 언급이 되나요? 

슬랙 방이 따로 있을까요?

eigen vector벡터 x가 A라는 matrix로 선형변환을 하였을때,그 결과 Ax가 기존 입력벡터 x의 span으로서 표현될 때(스칼라곱), x를 A에 대한 eigenvector라고 한다.eigen value벡터 x가 A에 대한 eigenvector일때, Ax라는 선형변환의 결과로 얼마만큼의 상수배(스칼라배)가 되었는가. 변환 크기가 얼마나 바뀌었는지를 나타내는게 eigen value이다.eigen spaceAx = ㅅ(람다)x를 만족할때,A-ㅅI = 0 의 null space들을 eigen space라고 하는데,이는 주어진 ㅅ(람다)값에 대응되는 입력벡터들 x들의 선형결합으로 이루어진 벡터공간을 의미한다. 

개념적으로는 다 이해한 것 같은데요.문장을 보면 the solution set of ~ 라고 시작하니w는 solution set이라고 생각했습니다.p 도 a solution이고, vh도 any solution이라면vh는 하나의 임의의 solution이 아니고solution set이 돼야 하지 않나요?w가 Ax=b 만족하는 임의의 한 solution이라면저 수식이 이해가 되는데, 아니라면 좀 이해가 안돼서요..아니면 임의의 해를 combination한 결과를하나의 set으로 정의하나요?

안녕하세요 교수님 질문 드립니다. 둘째줄의 P는 AX = b를 만족하는 x 의 많은 해 중 하나인 p + U 라고 생각됩니다. (p는 particular solution 이고, U는 b를 0벡터라고 뒀을때의 homogeneous solution)그런데 아래 내용을 보면 Ax = b 의 해의 형태는 p + Vh 라고 되어 있는데 , 그럼 해가 p + U + Vh 라고 표현되는게 아닌가요??내용은 다 이해했는데, 이론에 쓰인 글을 이해하지 못해서 질문 드립니다. 제가 이해한 바로는 둘째줄의 p 가 particular solution 이라고 표기되어야 맞는게 아닐까 해서 질문 드립니다. 아마 제가 잘못 이해하고 있다고 생각하고 있긴 합니다

Example 3에 나온 행렬에서 pivot position이 2개가 있다는 건 echelon form을 구해봐야 알 수 있는 건가요??

Theorem 6이 Ax = b가 해를 가지고 있고, p를 해라고 했을 때, 그 해의 집합이 w = p + vh을 만족한다라고 하셨습니다.근데 해가 p인데 또 그 해가 w 이다라는게 이해가 가지 않는데요. solution과 solution set이 다른 개념이라서 그런건가요? 해가 여러 개인데 그중 해 하나를 알고 있으면 다른 해들도 알 수 있다는 뜻인가요?

다른 질문에 댓글 달았던 내용인데, 행여나 도움되실까 해서 공유해봅니다. rough하게 적어서 조금 엄밀하지는 못합니다 :) Matrix A의 Column들이 linearly independent 하다는 것은 if and only if A가 one-to-one mapping입니다. 증명은 여러 가지로 많이 소개되어있으니 직접 찾아보시면 되겠습니다. 제가 이 동치를 직관적으로 이해하는 방법은 아래와 같습니다. 우선 one-to-one의 linear mapping에서의 직관적 의미부터 되새겨봅시다. A가 one-to-one mapping이라는 것은 Ax = b에서 서로 다른 x가 각각 서로 다른 b로 mapping 된다는 뜻입니다. 여기서 Column들의 linear independence 의 linear mapping 에서의 의미를 되새겨봅시다. Column들의 linear independence는 A의 Column들 중 어느것도 서로 다른 column들의 linear combination으로 표현될 수 없다는 뜻입니다. 반대로, column 들이 linearly dependent하다면, 어떤 column은 다른 column들의 linear combination으로 표현됩니다. 여기서, i번째 column이 vector x의 i번째 element 를 mapping 하는 것임을 상기해보면 (1.8 강의 standard matrix 부분을 보시면 됩니다), linearly dependent 하다면, vector x의 '어떤 element k'가 mapping되는 결과는 vector x의 다른 element가 mapping 된 것의 조합으로 표현됩니다. 따라서, element k는 어떻게 결정되어도 상관없는 free variable이게 됩니다. 따라서, one-to-one이지 않습니다. 이의 대우로, one-to-one이면 linearly independent하게 됩니다.

제 나름대로 이해한 것을 통해 부연설명을 해봅니다.Example 2 입니다. 왜 Onto인가현재 mapping을 나타내는 coefficient matrix가 주어졌고, 이 coefficient matrix는 row echelon form을 갖추고 있습니다. 이 coefficient matrix의 모든 row에 nonzero pivot이 있으므로, 이 matrix는 해를 갖습니다.(A linear system is consistent if and only if the rightmost column of the augmented matrix is not a pivot column)3x4 matrix가 해를 갖는다는 의미가 어떻게 R^4 와 연결될까요? 이는 해의 의미를 되짚어보면 이해할 수 있습니다.여기서의 해는 3 x 4 matrix A와 R^4의 vector x, R^3의 vector b가 존재할 때, 임의의 b에 대해 Ax = b의 꼴에서의 해, 즉 x가 결정될 수 있다는 뜻을 의미합니다. 즉, R^3의 어떤 b를 선택하든지, Ax=b 꼴에서 x를 결정할 수 있습니다. 즉, A라는 map의 치역(range)는 R^3가 되고, 이는 공역(codomain)과 같아집니다. 따라서 T maps R^4 onto R^3입니다.따라서, 앞으로 row echelon form으로 주어진 coef. matrix의 모든 row에 nonzero pivot이 있다면 이 matrix는 onto입니다.(강의에서 onto의 정의로 다시 설명해보면, R^3 상의 임의의 b는 최소 한 개 이상의 x의 image입니다. 따라서 onto입니다) 왜 one-to-one이 아닌가?앞서 설명한 해의 의미로 돌아가면, Ax = b에서 임의의 b에 대해 해 x를 결정할 수 있습니다. 그런데, 이 해는 x_3라는 free variable을 가집니다. 따라서, 해의 개수는 infinitely many 입니다. One-to-one이 되려면 Domain의 모든 element가 Codomain의 서로 다른 element로 mapping 되어야 합니다. 그런데, free variable이 있기 때문에 무수히 많은 variable이 Codomain의 동일한 element로 mapping 됩니다. 따라서 one-to-one이 아닙니다.(강의에서 one-to-one의 정의로 다시 설명하면, R^3의 임의의 b가 R^4의 x의 at most one x에 대한 image라는 것을 위배합니다. 무수한 x의 이미지일 수 있기 때문입니다. 따라서 onto가 아닙니다) 빠른 판단이 결과는 어찌보면 당연합니다. 두 가지로 빠르게 판단할 수 있을 것 같은데요. 첫째로 row와 column의 개수를 비교해볼 수 있습니다.우선, m x n matrix를 생각하면, row 개수는 m, column 개수는 n입니다. 그리고 모든 row와 column은 1개의 pivot 밖에 가질 수 없습니다.따라서, onto 를 위해 해가 존재하려면, 즉, 모든 row에 pivot이 있으려면, 최소한 column이 row보다 같거나 많아야 합니다. 즉 onto를 위해서는 최소한 m <= n 이어야 합니다.반대로, one-to-one을 위해 free variable이 없으려면, 최소한 row가 column 보다 같거나 많아야 합니다. 즉, one-to-one을 위해서는 최소한 m >= n 이어야 합니다.그러나, 이는 m <=n일 때 onto 라거나, m >= n일 때 one-to-one 이라는 뜻은 아닙니다. 그러나, onto이면 m <=n이고, one-to-one 이면 m >= n 입니다. (대우로 인해, m > n이면 onto가 아니고, m < n이면 one-to-one이 아닙니다) 둘째로, one-to-one correspondence로 설명할 수 있습니다. 이는 우리가 계속 사용하는 one-to-one (one-to-one function) 과는 다른 얘기입니다 (일대일 대응과 일대일 함수의 차이입니다). onto임을 판별한 시점에서, 이 matrix는 one-to-one이 아닙니다. 왜냐하면 이 matrix가 onto이면서 one-to-one이면 이 one-to-one correspondence (일대일 대응)이 되는데, 이를 위해서는 m = n이어야 하기 때문입니다. 개인 블로그에 작성하기 전에 rough하게 이해한 것들을 정리해보았습니다. 많은 분들께 도움이 되었으면 좋겠습니다. 오류가 있으면 댓글로 알려주시면 감사하겠습니다 :)

18:18 ~ 30 에서 Augmented Matrix에 모든 row마다 Pivot position이 있어서 Solution이 있다는 것은 틀린 설명입니다. 여기서는 Linear Mapping을 나타내는 matrix이므로 Augmented Matrix가 아니라, Coefficient Matrix가 되어야 하고, 그렇다면 Coef. Matrix의 모든 row에 pivot position이 있으므로 Solution이 있다는 말은 참이 됩니다

안녕하세요. 언제나 좋은 강의 감사드립니다.다름이 아니오라 $ \mathbb{R}^{n} $space에서 $ n \times n $ 행렬 $ A, B $ 가 similar할 경우,즉 $ A = PBP^{-1} $ 관계가 성립할 때 행렬 $ P $ 가 어떤 열벡터로 구성되는지 궁금해서 글남깁니다.질문은 총 2가지이며, 아래와 같습니다. Q1. diagonalization이 가능할 때 P의 열벡터행렬 $ A $ 가 diagonalization이 가능할 경우 행렬 $ P $ 는 linearly dependent한 eigen vector로 구성된 걸로 알고있는데, 그렇다면 eigen vector들은 $ \mathbb{R}^{n} $ 스페이스의 basis 벡터 중 일부인가요? Q2. diagonalization이 가능하지 않을 때 P의 열벡터행렬 $ A $ 가 diagonalization이 가능하지 않을 경우, 행렬 $ P$ 는 $ \mathbb{R}^{n} $ 스페이스의 basis 벡터 중 일부로 구성되어 있나요?아 혹시 $ n \times n $ 행렬 $ P $ 는 similarity transformation 정의상 invertible하기 때문에 그 행렬의 열벡터들은 선형독립이고, $ \mathbb{R}^{n} $ space를 span하기 때문에 당연히 $ \mathbb{R}^{n} $ space의 basis가 되는건가요?? 

영상에선 14분 즈음 입니다.v1의 coefficient가 nonzero 하므로 nontrivial solution이 존재하게 되어 linearly dependent가 된다는데,v1의 coefficient는 -1이고, c가 만약 0이라면 -v1=0인건데 그럼 v1=0이라는 trivial solution만 존재하므로 independent인거 아닌가요?(제가 뭔가 정의를 요상하게 이해하고 있는 것 같기도 합니다.)