8.3 chi-square에서 자유도가 n. n-1로 나뉘게 되는 것은 random variable이 무엇인지 때문인가요?

Question

Q0. 위 두 가지에서 자유도가 n , n-1 로 나뉘는 이유 가 궁금합니다 Q1. 자유도 에 대해서 아래 블로그를 통해서 이해했습니다 https://ondemandstore.tistory.com/2 위 글의 예시를 통해 보았을 때 자유도 관점에서 어떤 변수 10개 중에 9개를 선택 되었을 때 나머지 1개는 웬만하면 고정되는 게 아닌가 싶습니다. ( Q1-1잘못 이해하였다면 자유도가 무엇인지도 궁금합니다 ) 그런데 Chi-sqaure 첫 번째 조건 에서 자유도가 n이 되는 이유 는 Z가 independent standard normal이라 그런가요? 그렇다고 한다면 independent standard normal의 어떤 특징이 자유도를 n으로 만들게 하는지 궁금합니다 Q2 . X 가 i.i.d normal distribution random variable 인것이 chi-squared distribution의 자유도가 n-1 이 되게 하는데 큰 영향을 미치나요? 어떤 점이 그러한 영향을 미치게 되나요? i.i.d 라서 그러한지, i.i.d && normal distribution 이라 그러한지 혹은 그 외에 이유가 있는지 궁금합니다

tkn · Answer

자유도 n은 정의상 n인것이기에 생략하고, n-1은 직접 증명해서 보일수도 있으나 직관적인 설명을 하자면 mu 대신 X1부터 Xn으로 표현되는 X_bar가 쓰여서 자유도가 한개 빠진다라고 생각하시면 됩니다.