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말씀하신것처럼 임의의 개구간을 설정한것이 아니라 ( x(t), x(t0) ) 개구간에서 mean value 정리를 사용한것입니다.

어찌됐건 이해가 된것같지만, 오해를 덜기위해서 다변수함수라고해서 뭔가 다르지 않습니다.

지금 다변수 함수지만, 단일 변수 함수처럼 다룰 수 있도록 term들을 총 3개로 쪼개놨기때문에 단일변수 함수의 mean value 정리를 그대로 활용 할 수 있는겁니다.

오해하지 마시라고 언급해드립니다.

사람마다 언어를 표현하고 이해하는게 각기 달라 제 답변이 부족할수도 있습니다.

이해가 가지 않는 부분은 또 적극적으로 질문해주세요 :)

감사합니다ㅎㅎ

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답변드립니다.

특정 개구간이 어떤것인지 생각하시면 바로 이해하실 수 있을것 같습니다 !

mean value 정리에 의해서 c는 ( x(t), x(t0) ) 에 속합니다.
mean value 정리의 (a, b) notation에 해당하는것이 ( x(t), x(t0) )죠?

그런데 현재 t가 t0에 한없이 가까워지고 있으니 c는 x(t0)로 가까워집니다.

마찬가지 이유로 d와 e도 각각 y(t0), z(t0)에 해당되게 되구요.

그리해서 결국 파란색으로 칠해진 박스 부분은 f의 x, y, z에 대한 partial derivatives들을 x(t0), y(t0), z(t0)에서 evaluation한것이 되는겁니다.

limit가 밖에 있다라는 점을 주의해서 생각해보시면 될 것 같습니다.

답변이 부족할 경우 다시 한번 질문 해주세요 ㅎㅎ

감사합니다:)

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제가 지금에서야 확인했는데 내일 중으로 다시 보고 답변 드리겠습니다. 기다리실까봐 먼저 댓글 답니다.

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감사합니다 :) path에 의해서 구간이 계속 변동된다는 걸 감안하지 못해서 다변수함수에서 평균값정리가 다르게 적용된다고 이해 할 뻔했습니다. 잘 설명해주셔서 감사합니다.

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아 일변수함수에서는 개구간 (a, b)가 고정되지만 다변수함수에서는 path c(t)에 의해서 개구간 ( x(t), x(t0) ) 자체가 계속 변하는군요. 그래서 t가 t0로 가면 x(t)가 x(t0)로 움직여서 개구간의 간격 자체가 줄어들게 되고, 따라서 c도 x(t0)로 가까이 가겠네요!

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아 제가 평균값 정리를 잘못 이해하고 있는건가요?

미분가능한 일변수함수 f(x)에서 임의로 개구간 (a, b)를 잡으면, f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)를 만족하는 임의의 특정 상수 c가 그 때마다 정해지는 것으로 알고 있습니다. 물론 f'(c) = lim[ f(x) - f(c) / (x - c) ] when x -> c로 나타낼 수 있겠죠. 

이 때, x 가 a에 근접한다고 해서 c가 a로 가지는 않는 것 같은데... 다변수함수에서는 뭔가 다른 것 같아요 :)