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Theorem7 하나의 백터가 다른 백터의 결합 관련 질문입니다.
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백터 하나가 다른 백터의 결합으로 표현되면 dependent이다.에서
c1v1 +c2v2+ ... + cpvp = 0
v1 = (-c2/c1)v2 + ... + (-cp/c1)vp
v1= c2v2 + ... +cpvp
-v1 + c2v2 + ... +cpvp = 0
마지막 -v1 + c2v2 + ... +cpvp = 0 에서
c2v2 + ... +cpvp이 0이라면
-v1 = 0 일떄
-v1이 0이 아니면 dependent라는 말이 이해가 안되네요
c1v1 +c2v2+ ... + cpvp = 0 이니까
Ax = 0
즉, homogeneous system이고
그 얘기는 triavial 아니면 nontrivial solution이 있는 것인데
v1 = (-c2/c1)v2 + ... + (-cp/c1)vp
-v1 + c2v2 + ... +cpvp = 0
-v1 != 0 이어야 dependent.
그런데 나머지가 0이고
-v1이 0이 아니면
c1v1 +c2v2+ ... + cpvp = 0
c1v1 =0에서
c1v1 != 0 이어야 dependent라고 하셨는데
c1v1 != 0이면
만약 c1v1= 7이라 가정했을 떄는
7 0
free variable이 안되니 independet가 아닌가 생각듭니다.
그리고 그 상태에서 만약 v1이 0 이라고 가정하면
양변은 0 = 0 이되어서
그러면 free variable의 조건이 되는게 아닌가 생각드네요
homogeneous에서 free variable이면 dependent인데
그러면 v1이 0이어야 dependent인게 아닌가하고 생각듭니다.
이해가 쉽지 않은데 어떻게 이해해야 바른 이해일까요?
답변 2
1
안녕하세요.
헷갈릴수있으니, 간단하게 다시 정리해드리겠습니다.
v1 부터 vp 까지 두개 이상의 벡터들이 linearly dependent 라는 문장은 무엇과 동치냐면
최소한 하나의 벡터가 다른 벡터들의 linear combination인것과 동치입니다.
여기서 보여야할것은
1. 첫문장이 참일 경우 -> 두번째 문장이 참인것
2. 두번째 문장이 참인경우 -> 첫문장이 참인것
을 보이면 됩니다.
1의 경우는 linearly dependent의 정의입니다. 더 설명할것이 없구요.
2의 경우 v1이 다른 벡터들의 linear combination으로 표현되었다고 해봅시다. (v1이 되게끔 벡터를 정렬함)
그럼 v1 = c2v2+ ... +cpvp 형태로 표현이 될것입니다. 그게 lienear combination의 정의니깐요.
그리고나서 왼쪽항을 오른쪽으로 넘기면
-v1 + c2v2 + ... +cpvp = 0의 식이 나옵니다.
이때 v1앞에 붙은 coefficient가 -1입니다. c2부터 cp까지는 뭐가 되건 상관이 없습니다.
어찌됐건 v1부터 vp까지 앞의 coefficient들을 벡터화해서 보자면 [-1,c2, ..., cp]로 이는 zero vector가 아니게 됩니다.
이는 무엇이죠? 바로 linearly dependent의 정의입니다. (page 3 참조)
답변을 보시고 다시 한번 생각해보시고 이해가 여전히 안된다면 추가질문 주세요.
감사합니다.
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빠른 답변 고맙습니다!
linearly dependent에 대한 제 이해가 아직 부족하네요.
homogeneous일때 nonTrivial
즉, free variable에 있을때
그 때 dependent인 것과 연결이 잘 안되어서 잘못 이해했네요.
그 부분들 다시 찾아봐야겠네요
피드백 고맙습니다 ㅎ