Chapter2 - Theorem8에 대한 질문
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안녕하세요 강의 내용에 대해 질문이 있어서 남깁니다
다름이 아니라, 선생님께서 Theorem8의 각 문장들이 동치 관계에 있다고 말씀하셨습니다
예를 들어, d의 조건을 만족하면 a인 'A is an inversible matrix' 또한 참이라고 말입니다
한가지 헷갈리는 것은, 혹시 one-to-one과 onto도 이런 관계가 성립한다는 것인지
이해가 가지 않는데요. 이론8을 어떻게 이해해야 하는지 부연 설명을 부탁드립니다
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네. 모든 문장이 다 참이거나, 모두 거짓이거나 입니다.
질문주신것처럼 "n x n" square matrix가 invertible한 경우엔, linear transformation A는 Rn onto Rn이고, one-to-one이기도 합니다. invertible하지 않다면 onto하지 않고, one-to-one도 아닙니다.
(one-to-one의 정의는 해가 "최대" 한개인 거란 사실을 상기 시켜드립니다.)
부연 설명을 하자면,
일단 onto 이기 위해서는 Ax=b의 식에서 "임의의 b in Rn"이 모두 해를 가져야 합니다. 즉, A의 모든 row가 pivot을 가지고 있으며, invertible 한것입니다. 거꾸로는 당연히 마찬가지이고요.
- 1에서 설명했듯, invertible 하기에 solution이 unique합니다. 그래서 one-to-one 입니다. 반대로 one-to-one일 경우에도 invertible이란건 쉽게 알 수 있습니다.
안그래도 이론8번을 설명할때 부족할 수 있을 것 같다는 생각이 들었었는데 질문 잘주셨습니다.
답변이 좀 부족하거나 이해가 안된다면 추가로 질문 주시면 감사하겠습니다 ㅎㅎ
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