Theorem 2 관련 질문

Question

안녕하세요 항상 좋은 강의 정말 감사드립니다! 다른 분들의 질문에 답해주신 것과 수업 자료의 자막이 상충되는 것이 있는 것에 대한 질문과, 증명과정에 있어서 이해가 가지 않는 것에 대한 질문이 있습니다. ① 우선 { v1 , ... , vr }이 linearly dependent한 set이라고 가정한 뒤, Chapter 1의 Theorem 7에 의해 벡터 set에서의 인덱스 p를 잡고 c1 v1 + ... + cp-1 vp-1 = vp가 성립함을 보이며 " v1 부터 vp-1 까지 linearly independent한 벡터들로 골라준 것" 이라고 설명해주셨고, 게시판에 올라온 다른 질문들의 답변에도 동일한 설명을 해주셨는데 자막으로는 "dependent입니다. 말실수입니다. "라고 하셔서 뭐가 맞는 건지 헷갈립니다. (동일한 상황의 자막이 22:06에도 등장합니다) 자막은 무시하고 그냥 원래 설명대로 { v1, .. , vp-1} 은 linearly independent한 set으로 이해하면 되는 건가요?? ② 두번째 질문은, 마지막 증명과정에서 c1( &lambda;1- &lambda;p ) v1 + ... + cp-1( &lambda;p-1- &lambda;p ) vp-1 = 0 가  "trivial solution만을 가지기 때문에 { v1 ... vr } 이 linearly dependent하다는 가정이 위배되므로 { v1 ... vr } 이 linearly independent하다" 라고 설명해주셨는데, vp-1 는 벡터 set { v1, ...,   vr} 에서 인덱스로 잡은 값인데, 벡터셋의 일부 벡터들이 linearly independent하다고 전체 벡터셋이 linearly dependent하지 않다고 할 수는 없지 않나요?? 즉, { v1 , ... vp-1 , vp , ... vr }이 linearly dependent하다고 한 것이 첫번째 가정인데, { v1 , .., vp-1 }이 linearly independent하다고 해서 { v1 , ... , vr }이 linearly dependent하다는 가정이 틀렸다고 할 수는 없지 않나요?? 그리고 첫번째 질문에 보시면 애초에 { v1 , ... vp-1 }을 linearly independent한 벡터들로 잡은 것 아닌가요?? 매번 질문에 친절하게 답변해주셔서 정말 감사드립니다!

qkr07101977 · Answer

우선 자세한 답변 감사드립니다! 그런데 아직 확실치 않은 부분이 있어 하나만 더 질문드려도 괜찮을까요? theorem 7에 의해서 [c1, ..., cp-1]은 nonzero vector라 하셨는데, 이 부분이 아무리 생각해도 도저히 이해가 잘 가지 않습니다ㅠㅠ theorem 7을 증명했던 chaper 1을 다시 복습했는데도 vp = (-c1/cp)v1 + ... + (-cp-1/cp)vj-1 에서 cp가 nonzero가 되어야한다고 하였지, [c1 ... cp-1]이 nonzero여야 얘기는 없었어서요.. vp가 zero vector면 안된다는 조건도 없었고요.. 오히려 vp가 zero vector가 되면 {v1 , ... vr}이 zero vector을 포함하게 되어 linearly dependent하게 되는 것 아닌가요..? [c1 ... cp-1]이 zero vector가 되어, zero vector인 vp를 v1 ~ vp-1의 linear combination으로 표현하면 안되는건가요?? 답변 주신 내용 천천히 고민해보며 최대한 혼자 해결해보려했는데 도저히 모르겠어서 질문드립니다ㅠ