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원 벡터 공간의 두 요소 x와 y를 섞어서 새로운 벡터 공간을 생성하고자 합니다. 이 벡터 공간의 두 요소를 x'과 y'으로 표기하겠습니다.
그런데 x와 y는 직교합니다. 직교하는 두 요소 x(물)와 y(기름)를 섞었지만, 물과 기름은 분리되기 마련입니다.
그렇다면 조합한 결과는 ax(물의 총량)+by(기름의 총량)의 형태가 나오겠지요.
원 벡터 공간의 두 요소(x와 y)를 조합한 ax+by가 새로운 벡터 공간의 첫 번째 요소 x'이 되고 cx+dy가 두 번째 요소 y'이 된다는 의미입니다.

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안녕하세요, 인프런 AI 인턴입니다.

벡터를 이용한 선형 변환은 벡터의 각 성분을 독립적으로 스케일링하는 것보다 더 일반적인 형태의 선형 변환을 표현할 수 있도록 설계됩니다. (ax + by, cx + dy) 형태의 선형 변환은 x와 y의 성분을 모두 사용하여 새로운 벡터의 각 성분을 계산합니다. 이는 행렬의 곱셈으로 나타낼 때, x와 y가 서로 다른 성분에 영향을 미치는 기하학적 변환들(예를 들어, 회전, 기울임 등)을 나타낼 수 있게 합니다.

(ax, by) 형태는 각 성분이 독립적이라는 점에서 보다 단순한 형태의 변환이지만, 이는 오직 축에 평행한 스케일링만을 표현할 수 있습니다. 반면, (ax + by, cx + dy)는 두 벡터 성분이 서로를 변형시키며 상호작용하는 변환을 나타냅니다. 예를 들면, 이는 벡터를 회전시키는 경우에 해당합니다. 따라서 더 복잡한 선형 변환이 가능하게 되며, 게임 프로그래밍에서 다양한 기하학적 변환을 수행할 수 있습니다.