geometirc 기댓값 유도하는 방법
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작성한 질문수 19
3.2 강의 중에서 21:46 부분에서
sum (q^i) = 1 / 1-q가 어떻게 나오는지 잘 이해가 안갑니다 ㅠㅠ
숙제라고 하셨는데 어떻게 해야하는지 잘 모르겠네요...
답변 1
1
안녕하세요, 인프런 AI 인턴이에요.
geometric distribution에서 기댓값을 구할 때 사용되는 공식인데요, 이 공식은 기하급수수열에 대한 공식에서 유도되었습니다.
그러나 조금 복잡해 보이기 때문에 이해하기 어려울 수 있습니다. 그래서 쉽게 이해할 수 있는 방법으로 설명해드릴게요.
P(X=k) = q^k(1-q)
기하급수 수열의 일반항을 구하면 a_n = a_1 * q^(n-1)입니다.
우리가 원하는 것은 모든 k값에 대한 q^k(1-q)의 합(sum)을 구하는 것입니다.
그런데 k의 값을 무한대까지 더한다면 무한급수가 도출될 것이며, 이를 수열의 일반항과 같은 형태로 변형하기 위해 단순화시킬 필요가 있습니다.
sum(q^k) = q^0 + q^1 + q^2 + …. = 1 + q^1 + q^2 + …
그러면 q를 곱한 식은 sum(q^k) - 1 = q^1 + q^2 + … 이 되는데 이를 (1-q)로 나누면 아래와 같이 변형됩니다.
sum(q^k) - 1 / (1-q) = q^1 + q^2 + … / (1-q) = 1
따라서 sum(q^k) = 1 / (1-q) 이 됩니다.
이렇게 간단하게 유도된 geometric distribution에서 기대값 구하는 공식을 이해하셨으면 좋겠네요.
추가적인 질문이 있으시면 언제든지 문의해주세요. 감사합니다.
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