헤시안 행렬의 고유값(eigenvalues)로 definiteness를 알아내는 방법
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작성한 질문수 2
(f) Second Derivative Test for Local Extrema(part2)에서 헤시안 행렬의 고유값으로 헤시안의 Definiteness를 판별하는 방법이 이해가 안 됩니다ㅠㅠ
선형대수학 개론을 잠시 보고 왔는데요, Q(x) = x^TAx = y^TDy=lambda1*y1^2 + ... +lambdan*yn^2
이 식에서 Q(x)가 0보다 크면, y1^2, ... , yn^2이 모두 양수이기 때문에 lambda1~n(고유값)이 모두 양수라고 하는데... 헤시안의 고유값 중 하나가 음수여도 나머지가 다 양수이면 Q(x)는 양수가 나올 수도 있는 거 아닌가요??ㅠㅠ
왜 두 명제가 동치인지 이해가 잘 안 됩니다ㅠㅠㅠㅠ
답변 1
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선대개 6.2단원 정리5번 참고 바랍니다.
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선대개 6.2단원 정리5번 참고하였습니다. 하지만 동치인 이유가 여전히 이해가 안 됩니다...
A의 고유값이 모두 positive이면 Q(x)가 Positive인 것은 이해가 되지만, 역이 왜 성립하는지 모르겠습니다..ㅠㅠ Q(x)가 양수인데 왜 A의 고유값이 positive일 수 있는지 모르겠네요. 고유값 하나가 음수여도 나머지가 모두 양수여서 Q(x)는 모두 양수일 수 있지 않나요....????
예를들어)
람다 = -1, 2, 5이면, -1y1^2 + 2y2^2 + 5y3^2 > 0 이렇게 될 수 있는거 아닌가요...???
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A가 symmetric matrix인 경우에 해당하고요, 그 어떤 x에 대해서도 만족해야한다라는 점을 생각하시면 될 것 같습니다. 선대개를 혹시 안들으셨다면, 6.2단원만으로 이해가 안될수도 있을것같습니다.
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