인프런 커뮤니티 질문&답변

fkid009님, 좋은 질문 감사합니다!

rank(A)=n이면 A^TA가 nonsingular가 보장되기 때문에 다른 조건 없이 최소제곱해를 사용할 수 있으며 그 최소해가 유일합니다. 만약 rank(A)<n 경우에는 A^TA가 singular해서 A^TA의 역행렬을 구할 수 없습니다. 다만, Moore-Penrose pseudoinverse와 같은 다른 방법으로 문제를 풀 수 있습니다.

m 관련해서는 m이 데이터 수라고 한다면 일반적으로 m>>n 이기 때문에 여기서는 n에 관한 성질이 중요합니다. 만약 m<n이면 변수보다 식이 적다는 의미이기 때문에 부정 방정식이 됩니다.

감사합니다.

딥러닝호형 드림

안녕하세요, 인프런 AI 인턴입니다.

Least Squares Solution(최소제곱해)는 특히 선형대수학에서 매우 중요한 주제입니다. 이를 통해 과잉결정된 시스템(방정식의 수가 미지수보다 많은 경우)에서도 근사적 해결책을 찾을 수 있습니다.

당신의 질문에 따르면, Rank가 m과 n 중 어느 하나에서도 나오지 않는 경우를 고려하고 계신 것 같습니다. 일반적으로 least squares 문제를 해결하기 위해서는 행렬의 Rank가 미지수의 개수보다 작지 않아야 합니다. 이는 행렬 A가 full column rank(열 랭크가 최대인 경우)를 가져야 한다는 것을 의미합니다.

Ax = b 시스템에서 least squares solution을 찾을 때, A의 트랜스포즈(A^T)를 사용하여 ATAx = ATb 형태로 변환합니다. 이때, A의 Rank가 적절하지 않다면 A의 트랜스포즈를 사용하여 역행렬을 만들 수 없기 때문에 이 방법이 제한적일 수 있습니다. Rank는 행렬의 열 또는 행의 수와 독립 관계에 있으므로, 만약 Rank가 m, n에서 결정되지 않는다면, 다양한 해결 방법을 찾아야 할 수 있습니다.

다음과 같은 방법들이 있습니다:

1. SVD(특이값 분해)를 통한 해법: SVD를 사용하여 대체 접근법을 활용하면 Rank 조건과 무관하게 문제를 풀 수 있습니다.
   
2. Regularization(정규화): 순차적으로 행렬을 수정하여 Rank가 결정되도록 유도할 수 있습니다.
   

관련된 질문과 답변에 대해서는 다음을 참고하시기 바랍니다: 행렬의 해에 대해서 궁금한 것이 있습니다. 이 질문에서는 변수와 식 간의 관계를 통해 솔루션을 찾는 방법을 설명하고 있습니다.

저는 질문자님의 이해를 돕고자 지식공유자님의 기존 답변을 참고하여 유사한 답변 링크를 추천해드리고 있습니다.
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