잔차 라그랑지폼의 극한에서

미해결질문
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9분15초 정도에 잔차 라그랑지폼에서 바로 극한을 알 수 없다고 하셨는데  잔차 라그랑지 폼 R_k(x_0, h) = \frac{f^{k+1}(c)}{(k+1)!} h^{k+1}에서

바로 limit취해서 h->0 하면 lim_{h \to 0} R_k(x_0,h)=0 이 되는것 아닌지요? h의 k+1차 다항식이라 그냥 그렇게 될것같은데 제가 뭘 잘못알고있는지 알려주시면 감사하겠습니다.

조범희 (타블렛깎는노인) 프로필
조범희 (타블렛깎는노인) 2019.05.22

굉장히 좋은 질문입니다.

주어진 limit가 0이기 위해서 f^{k+1}(c)이 bound됨이 확실해야하겠죠? (상수로 주어져야함)

그리고 현재 c는 a와 b사이 (closed interval) 에 주어진 어떤 포인트이며 정확히 알지는 못하는 상황입니다.

아무튼 요지는, f^{k+1}(c) 항이 발산하지 않음을 확실히 알아야하는데 (예를들어 발산을 하는데 M/||h||^{k+1} 꼴로 발산한다면 limit는 0이 아니게 될겁니다.}

너무 당연하게 느껴질수있는 그 부분을 7페이지에서 extreme value thorem을 적용하여, f^{k+1}이 continuous함수이기때문에 주어진 closed interval [a,b]에서 bound되어있다라는걸 사용해서 그래서 limit가 0인것을 보인겁니다.

5페이지에서 설명할까 하다가 remainder부분만 좀 더 집중적으로 따로 보는게 좋을 것 같아서 강좌를 그리 구성해봤습니다.

답변이 이해가 가신다면 하트를 눌러서 알려주세요 ㅋㅋ

해결이 안되거나 혹시 제가 잘못알고 있는 것 같다면 다시 질문 주시면 감사하겠습니다!!

(저도 분명히 잘못알고 있는 내용이 있을 수 있기때문에 그런 경우가 발생하면 수정하여 업데이트 합니다.)

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ywpython 2019.05.22

설명 잘들었습니다. 처음에 함수 f가 k+1번 미분연속이라서 f^{k+1}(c)는 당연히 유한한 미분계수라고 생각했는데 제가 개념이 확실치 않아서 잘모르겠는데  C^k 클래스 함수 f에 대해 f^(k)가 어느 곳에서 함수값이 없는 반례같은것 있는지요?

조범희 (타블렛깎는노인) 프로필
조범희 (타블렛깎는노인) 2019.05.22

개념은 확실히 이해하신게 맞는것 같습니다.

주어진 도메인에서 C^k라면 f^(k)가 continuous하기 때문에, continuous정의상 f^(k) 값이 없는 경우는 없는게 맞습니다.

그렇기때문에 당연히 closed interval 에서 함수의 최대값과 최소값을 가지게 된다고 이해하셔도 좋습니다. 그것이 바로 extreme value theorem이고요.

좀 돌아돌아 왔지만 당연하다고 생각하신부분을 extreme value theorem으로 명확하게 표현하여 limit를 구한것이라 생각하시면 됩니다.

요약하자면 말씀하신 "함수 f가 k+1번 미분연속이라서 f^{k+1}(c)는 당연히 유한한 미분계수라고 생각했는데" 이 부분이 extreme value theorem에 해당한다고 생각하시면 됩니다. "당연히" 부분을 풀어 쓴거라 생각하시면 되고, extreme value thorem 자체가 우리가 워낙 실수에 관한 함수에 익숙해서 당연하다고 느끼는 이론입니다.

extreme value theorem관련된 상세한 내용은 Thomas' Calculus 11판 appendix A.4에서 읽어보실 수 있습니다.

혹은 구글을 검색해보니 이 자료도 좋을 것 같습니다. https://services.math.duke.edu/~cbray/Stanford/2001-2002/Math%2041/EVTProof.pdf

어쩌다보니 테일러 이론에서의 remainder보다 continuous 함수의 성질에 더 집중을 하게 된 것 같습니다. (사실 이 강좌에선 continuous 함수에 대한 공부 자체는 그리 많이 하지 않습니다. 관심이 있다면 Topology 과목을 들으신다면 더 많이 배우게 됩니다.)

어찌됐건 강의에서처럼 중요한 부분은 Rk가 h가 0에 가까이 갈수록 0으로 간다는 점과 Rk나누기 ||h||^k도 마찬가지로 h가 0으로 갈수록 0으로 간다라는 성질이 중요한 내용입니다. 물론 우리 수업에서는 remainder의 성질을 사용하여 error analysis를 하는것을 배우진 않지만, 이 내용정도를 기억하고 있다면 추후 관련 공부를 하게 될 때 도움이 될거라 생각합니다.

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ywpython 2019.05.22

자세한 답변 감사합니다.

적어도 수학자들의 생각은 그냥 일반 사람의 생각으로 따라 가기 힘든 부분이 있는것이 확실한것 같습니다. 집에 우연히 토마스 미적분학 책(스튜어트 말고!)이 있어서 더 확인해보겠습니다. 첨부해주신 자료도 살펴보겠습니다. 감사합니다.

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