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몇개의 질문이 있습니다.
1. 어떠한 matrix A 에 대한 특정 eigenvalue λ 에 대하여 multiplicity 가 2 인 경우 characteristic equation의 solution x가 free variable 2개로 표현된 general solution 인데, x 자체가 λ 에 해당하는 eigenvetor인지 general solution을 구성하는 vector (linear combination의 vetor) 각각이 eigenvector인지 햇갈립니다.
2. example5 에서 eigenvetor 들이 linearly independent 하다는 것을 아니 λ=5 의 vetor 두개와, λ=-3 의 vetor 두개가 쌍으로 묶이지않고 섞여서 P 를 구성할 수는 없는건가요? (independent set 이기 때문에) 그냥 D에 eigenvalue만 맞게 배치하면 되는 것 아닌가요?
3. example6 의 세번째 명제에서 P 가 invertible 하다거나 해당 eigenvector set이 independent 하다는 말이 없으니, A가 diagonalizable 한지는 알 수 없는 것이겠죠?
답변 1
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안녕하세요.
제가 이메일을 확인을 못했는지 이제서야 답변드립니다.
1.
예시에서의 characteristic equation은 2차 방정식인데 (단일 변수에 대한), 질문 자체가 이해가 안갑니다. characteristic equation의 솔루션이 eigenvalue이고, 해당 eigenvalue에 대한 eigenvector는 Ax = λx 로 표현됩니다.
2.
theorem 4를 참고하시면 질문에 답변이 될것같습니다. PDP-1 에서 P와 D가 어떻게 구성되는지 한번 다시 살펴보시길 바랍니다.
3.
P는 자연스레 invertible하게 됩니다. diagonalization theorem 증명을 다시 살펴보시면 될것같습니다.
감사합니다.