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nXn 행렬 A가 역행렬이 존재할 때 A와 I_n이 row equivalent한 이유가 무엇인가요??
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안녕하세요 강사님
개인적으로 질문이 있어 문의드립니다.
6강 행렬식풀이 강의에서 nXn 행렬 A가 역행렬이 존재할 때 A와 I_n이 row equivalent하다. (서로 동치)다고 말씀주셨는데
그러한 이유가 무엇인가요??
강의에서는 직관적으로 설명해주셨는데,
det(A)!=0 인 이유와 연관되어서 그런가요??
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안녕하세요!
좋은 질문 감사합니다 :)
양방향에 대해서 증명을 해야하는데요.
(1) A와 I_n이 row equivalent하다는 것은 elementary 행렬을 A에 유한하게 곱하면 I_n이 나온다는 의미입니다. 즉, 이를 다음과 같이 표현할 수 있고 I_n = (E_k...E2E1)A 여기서 (E_k...E2E1)가 A의 역행렬이 됩니다. 따라서 역행렬이 존재합니다.
(2) A가 역행렬이 존재한다는 의미는 A가 nonsingular이고 nonsingular이면 A를 elementary 행렬의 곱으로 표현할 수 있습니다. 즉, A = E_k...E2E1 으로 표현이 되고 이는 A = (E_k...E2E1)I_n으로 정리할 수 있습니다. 따라서, 행렬 I_n에 elementary 행렬을 유한 번 곱해 A가 나오므로 A와 I_n이 row equivalent하게 됩니다.
추가적으로 A가 역행렬이 존재하는 것과 det(A)!=0은 동치이므로 det(A)!=0과 A와 I_n이 row equivalent하다는 것이 또 동치가 됩니다!
여기서 중요한 점은 역행렬의 존재 여부가 궁금할 때 동치 명제 중 하나만 보여주면 됩니다 :)
* elementary matrix란?
row echelon form을 진행할 때 우리가 각 행을 바꾸거나 수를 곱하고 더하고 빼고 하는데 한 번 시행할 때 이를 행렬로 표현할 수 있습니다. 이 행렬을 elementary matrix라고 합니다.
https://math.libretexts.org/Bookshelves/Linear_Algebra/A_First_Course_in_Linear_Algebra_(Kuttler)/02%3A_Matrices/2.08%3A_Elementary_Matrices