Simple region에서 적분구간 질문입니다.

첫번째 질문은 강좌를 더 보시면 이해가 가실거라 생각합니다.

두번째 질문은 두 조건이 나타내는 영역이 같습니다. or가 아니고 and이기때문입니다.

간단하게 변수가 두개만 있는 경우를 생각해봅시다.

0 <= x1 <= x2 <= 1 의 영역과

0 <= x1 <= x2 and 0 <= x2 <= 1 의 영역을 한번 비교 해보시길 바랍니다.

물론 뒤의 부둥식을 0대신 x1으로 표기해도 되지만 and이기때문에 0으로 써도 상관없습니다. 항상 x2는 x1보다 크거나 같다라는 조건이 첫번째 조건으로 주어졌으니깐요.

천천히 그림을 그려서 생각해보시면 이해하실수있으리라 생각합니다.

감사합니다.

안녕하세요.

우선 위에서 말씀드린것처럼 일반적인 영역의 경우 다변수 함수의 적분을 iterated integral로 하기위해서는 (편의상 적분순서는 x1부터 xn까지로 표기함) 

x1의 구간이, x2부터 xn까지의 함수로 구간으로 표기되고

x2의 구간이, x3부터 xn까지의 함수의 구간으로 표기되고,

...

x_(n-1)의 구간이 xn의 함수로 표현되면 iterated integral 방법으로 적분이 수행가능합니다.

즉 주어진 영역이 위와같은 형태로 표현이 가능한가가 핵심입니다.

그리고 강좌에서는 그러한 영역들을 2차원과 3차원에 대해서 공부하였습니다.

해당 주어진 구간의 경우 부등호로 표현된 구간을 위와같은 형태로 표현이 가능하다면 되겠죠?

우선 주어진 구간을 다시 생각해보면 이는 무엇과 동일하냐면 

T = { (x1, x2, ..., xn) | 0 <= x1 <= x2,  0 <= x2  <= x3, ..., 0<=xn<=1 }의 구간과 동일함을 알수있습니다. (여기서 컴마는 and 혹은 intersection의 의미)

즉 단순이 x1부터 xn까지 순차적으로 적분을 할때, x1은 0부터 x2까지 적분을, x2는 0에서부터 x3까지 적분을 이런식으로 xn은 0에서부터 1까지 적분하는 식으로 하시면 됩니다.

처음엔 부등호로 주어진 영역이 우리가 아는 형태로 표현이 되기 어렵지 않을까 생각했었는데, 의외로 너무 간단한 영역임을 뒤늦게 깨닳았습니다.

*참고로 말씀하신 영역은 2차원에서는 삼각형 영역, 3차원에서는 사면체 영역으로 표기됨을 알 수 있을겁니다.

도움이 되었으면 좋겠습니다.

감사합니다.

네 맞습니다.

아 감사합니다 :) 같은 영역이지만 적분 계산이 쉬운 영역으로 구간을 바꾼 거였군요! dx1dx2만 해 봤는데도... 계산이 참... ㅎㅎㅎㅎ

아 그리고

달아주신 두 번째 답변 에서 적분순서를 x1부터 xn까지 표시하기로 했다는 건

dx1dx2...dxn이렇게 된다는 말씀이신거죠??

안녕하세요 선생님

일단, 두 가지가 이해가 되지 않았는데요.

먼저 x1의 구간이, x2부터 xn까지의 함수로 구간으로 표기되고

x2의 구간이, x3부터 xn까지의 함수의 구간으로 표기된다는 말의 의미를 잘 모르겠고,

두 번째는 적분구간이 왜 T = { (x1, x2, ..., xn) | 0 <= x1 <= x2,  0 <= x2  <= x3, ..., 0<=xn<=1 }로 바뀌는지 잘 모르겠습니다. X2는 X1과 X3사이인데, 왜 0과 X3사이로 바뀌는지를 모르겠습니다.

아직 3차원 elementary region을 배우질 않고, 일반화를 시켜서 그런 것 같기도 합니다.

해당 부분까지 계속 공부해보겠습니다 :)

안녕하세요.

일단, 수업에서는 3차원에서의 elementray region들과 원통좌표계과 구면좌표계의 특정 영역에 대한 적분만 배웠습니다.

simple region은 2차원 적분에서 사용되는 표현이고,

질문을 보아하니, simple region 자체의 질문이라기보다는, n개의 변수가 있고 주어진 영역이 위와같을때 적분방법이 무엇인가에 대한 질문이라고 생각됩니다.

해당 region에서의 적분이 우리가 배운 iterated integral을 통해 적분이 수행이 쉽게 되는지 당장은 떠오르지 않아서, 제가 좀 더 알아보고 답변을 달아드리도록 하겠습니다.

핵심은 해당 영역을, 안쪽에서부터 x1의 적분영역을 x2부터xn까지의 함수로, x2의 적분영역을 x3부터 xn까지의 함수로, ..., xn까지의 적분영역을 0에서부터1까지로 표현할수있는냐가 관건인것같습니다.

일단 본 강좌에서 배우는 내용은, 2차원과 3차원의 특정 영역에서의 적분을 주로 다룬다라는 점을 염두해두시고 진도를 더 나가고 계셔도 좋을 것 같습니다.

감사합니다.

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