limit 관련 질문

안녕하세요 항상 좋은 강의 감사드립니다!

정말 이상한 질문이라고 생각하실지 모르지만 (저부터가 스스로 그렇게 생각합니다..), 이 이상한 의문에 대해 답이 도저히 나지 않아 답답하여 질문드립니다..ㅠㅠ

limit 정의인

"given any neighborhood N of b,

f is eventually in N as x approaches x0

if there exists a neighborhood U of x0 such that

x != x0, x in U, and x in A imply f(x) in N"

에서

설명해주신 예시에서는 b를 모두 f(x)에 굉장히 근접한 값(f(x)와 같은 값이 아니더라도)으로 두고 극한값의 유무를 증명해주셨습니다.

14페이지를 예로 들면 b를 y1으로 두고 N을 조정하였습니다.

그런데 공부하던 중 갑자기 궁금해진 것이,

14페이지의 그림을 예로 들면,

x0는 그대로인데, 만약 b를 y1보다 훨씬 큰 값으로, 즉 f(x0)에서 아주 멀리 동떨어진 값으로 두면, 그렇게 되면 앞서 배운 "극한의 정의"에 따라

"x가 x0에 가까워짐에 따라 f가 N 내부에 존재"하는 경우가 발생하지 않고, x가 x0에 한없이 가까워졌음에도 f(x)가 N의 특정값에 놓이지 않기 때문에

"극한값을 가지지 않는다." 라는 결론을 내었는데,

이런 상황을 "극한값을 가지지 않는다"라고 표현하는게 잘못된 것 같은데 뭐가 잘못된 것인지 모르겠어서 질문드립니다..

물론 x가 x0로 가까워져갈 때의 f(x)의 limit를 구해야 하므로 쌩뚱맞은 곳에 N을 설정한다는 것 자체가 말이 안되고 그럴 이유가 없다는 것은 알지만,

이상한 곳에 N을 설정해도 앞서 배운 극한의 정의대로라면 "극한값을 가지지 않는다"는 조건을 모두 충족하는 것 같아 제가 어떤부분에서 생각을 잘못하고 있는것인지 도저히 감이 잡히지 않아 질문드립니다ㅠㅠ

+ 제가 언급한 상황을 더 간단하게 말씀드리자면

f(x)의 그래프가 y = x일 때,

U를 Dr(1)로, N을 Dr(2)로 잡은 상황입니다..