미분가능하면 연속?

Question

안녕하세요

벡터미적분학이 일변수 스칼라 함수를 다변수 벡터함수로 확장시킨 과목으로 이해하고 있어서, 종종 미적분1을 참고하면서 정의와 정리가 어떻게 확장되는지 이해하고 있습니다.

미적분1을 보다가 궁금한 점이 하나 생겼는데, 미분가능성과 연속성의 관계입니다.(기초가 너무 부족해서 자주 헷갈리는 부분이 많네요... 죄송합니다)

하지만 2.5장에 나오는 평균값정리에서도 폐구간에서 연속이고 개구간에서 미분가능하다는 말이 나와서 미분가능과 연속의 개념을 한 번은 짚고 넘어가야겠다 싶었습니다. ㅎㅎㅎ

함수가 미분가능하면 연속하지만, 연속하다고 미분가능한 것은 아니다. 라는 명제를 봤는데

52분 20초에 나오는 함수를 보면 x0에서 함수는 미분가능하지만 f(x0)가 정의되지 않아서 불연속 하지 않나요?

Answer

안녕하세요.

함수가 미분 가능하면 연속이지만, 연속하다고 미분이 가능한건 아니다. <- 맞는 말입니다.

52분20초에 나오는 함수 (2.2단원 말씀하시는건가요?)의 예제는 limit값이 존재하지만, 함수값이 존재하지 않는 예시를 보여드린겁니다.

limit의 개념의 경우는 x->x0라는 의미가 x0에 한없이 가까워지다라는 의미이지 x가 x0로 가는건 아님을 보여드리기 위해서 가져온 예시입니다. (참고로 x0에서 미분이 불가능합니다. 왜인지 생각해보시면 정리하는데 도움이 될것같습니다)

추가로, differentialble의 판별의 경우는,
differentiable 정의로부터 미분이 가능한 함수를 알기 어려우니 보통 partial들이 존재하고 그들이 continous한 (즉, class C1)인지 아닌지를 먼저 판별합니다.

하지만, 실제로 우리가 다룰 함수들은 2단원 제외하고 differentiable의 경우만 다룬다고 보시면 됩니다.

일부러 limit, continuity, differentiable 개념들은 수학적으로는 어느정도 짚고 넘어가는게 낫지 않을까 싶어서 내용을 과하게 넣긴하였습니다.

다시 한번 천천히 보시고, 헷갈리는 점들은 언제든 질문주세요!

-조범희-