Rk(x0, h) 관련 질문

Question

안녕하세요 언제나 좋은 강의 감사드립니다. 다변수함수에서의 taylor theorem을 증명하는 과정에서 12페이지에서 단일변수 second order 테일러 공식에 x0 = 0, h = 1로 두고 각각을 대입하여 R2 = (...) 를 구했는데요 이전시간 강의의 정의대로라면 공식에서 remainder는 R2(x0, h) 꼴이기 때문에 x0 = 0, h = 1를 대입하면 R2(0,1)이기 때문에 자료에서는 R2로 나와있었지만 저는 R2(0,1)로 필기를 했습니다. (생략하신거라고 생각했습니다.) 그런데 13페이지에서는 R2를 구하는 과정을 보면 11페이지에서 x0 = 0, h = 1를 대입하여 구한 R2를 R2(0,1)가 아닌 순수한 R2로 두고 거기에다가 R2(x0, h)를 구하여 혼란이 생겼습니다. 왜 정의대로 x0과 h 자리에 각각 0과 1을 넣은 R2(0,1)이 아니고 R2로 해야 이 증명과정이 성립하는건가요??

qkr07101977 · Answer

감사합니다!

tkn · Answer

안녕하세요. 지금 second order 테일러 공식을 유도하는 과정은 g(1) = g(0) + g'(0) + 1/2*g''(0) + R2 라는 식을 아는 상황에서 각 항이 무엇인지 대입하여 구하는 과정입니다. 12페이지의 R2는 는 13페이지의 x 0, h 로 표현하지 않고, curve c(t)를 활용하여 t에 관하여 표현하고 있습니다. 헷갈리니 t + i 라고 하고, t = 0, i = 1에서 R2를 evaluation한 상황입니다. 그래서 첫줄의 식을 R2는 t에 관한 함수로 표현한 상황이입니다. 그 상황에서 13페이지의 과정을 거치면 R2가 t 대신 x 0, h 의 함수로 표현이 됨을 알수있고요. 그리고 그걸 단순히 정리한 형태가 테일러 공식입니다. 쉽게 표현하자면, 다변수로 자체로 생각하기 어려우니, 우리가 알고있는 단일변수 테일러 전개를 활용한것이고,  그때 활용한것이 R1 -> Rn 커브 함수 c 를 활용하는 것입니다. 이 부분은 천천히 다시 살펴보시는게 좋을것 같습니다. 감사합니다.