Break 에러

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해당 값에 대해 Break가 안걸립니다. 계속해서

print 값이 안나오는데 이유가 뭔지 알고 싶습니다.

while True:
    print("[메뉴를 입력하세요]")
    menu = int(input("1. 게임시작 2. 랭킹보기 3. 게임종료 >>>"))

    if menu == 1:
        print("-> 게임을 시작합니다")
    elif menu == 2:
        print("-> 랭킹보기")
    elif menu == 3:
        print("-> 게임을 종료합니다")
        break
    else:
        print("-> 다시 입력해주세요")

또한 밑에는 강의를 듣기전에 제가 생각한 코딩방식인데 혹시 어디부분인 문제였는지 알 수 있을까요?

print("[메뉴를 입력하세요]")
while True:
    Menu = int(input("1. 게임시작 2. 랭킹보기 3. 게임종료>>>"))
    if Menu == 1:
    print("->게임을 시작합니다")
    if Menu == 2:
    print("->랭킹보기")
    if Menu == 3:
    print("->게임을 종료합니다")
    break
else:
    print("다시 입력해 주세요")

print("[메뉴를 입력하세요]")
while True:
    Menu = int(input("1. 게임시작 2. 랭킹보기 3. 게임종료>>>"))
    if Menu == 1:
        print("->게임을 시작합니다")
    if Menu == 2:
        print("->랭킹보기")
    if Menu == 3:
        print("->게임을 종료합니다")
        break
else:
    print("다시 입력해 주세요")