[수학로그] 그룹 액션, 실로우 정리 WIP

개인적으로 수학 공부를 하고 있었는데 이걸 기록으로 남겨도 누군가에겐 쓸모가 있겠다는 생각이 들었다.

(설명을 위한 글이 아니라 뭐라도 남기는 것이라 설명이 깔끔하지 못한 점 양해 부탁드립니다.)

• An infinitely large napkin이라는 책을 예전에 한 번 읽어본 적이 있는데, 그 때는 실로우 정리를 그냥 확인만 하고 넘어갔다.

• 며칠 전에 문득 그룹 액션이 궁금해져서 이 부분만 확인하는 과정에서 실로우의 정리의 앞부분까지 보게 되었다.

• 실로우 정리 중반부에서 "여기서 미친 발상이 나옵니다!" 이러는데 내가 미쳐버릴 것 같아서 책을 덮었다.

   

   

  그룹 액션

  (G, X) -> X의 타입을 가지는 함수를 정했지만 G -> (X -> X)로 해석해도 좋은 것 같다.

• 상황에 따라 유리한 관점으로 해석하면 좋을 것 같다.

• 그룹 액션의 정의만 만족한다면 X에 아무거나 들어갈 수 있어서 첫인상보다 범용성이 넓다는 느낌을 받았다.

   

  • 실로우 정리 앞부분에 그룹 액션 적용하는 것 보면서 느낀 점이다

  • G랑 X의 구조에 따라 그룹 액션의 의미도 달라지는 것 같은데 이걸 엄밀한 수식으로 표현할 줄 몰라서 아쉽다.

Orbit-Stabilizer Theorem

• 각 Orbit을 { Gx | x in X }의 원소로 생각하자.

• Orbit을 사용하면 G와 X를 연결지을 수 있다.

  • 각 Orbit과 동형사상을 이루는 G의 subgroup이 존재한다.

    • 뭔가 이상하다, 왜 kernel이 아니라 image가 subgroup인 거지? kernel이 normal한가? 검토가 필요하다. 앞부분 차근차근 복습해서 오개념을 확실히 잡아야겠다.

    • Sylow 정리에서 X도 군인 경우에 그룹 액션을 적용해서 착각한 것 같다.

• 각 Orbit은 X를 분할한다.

  • 그룹 액션을 a: G -> X -> X로 보고, X가 Orbit들 O_1, O_2, ... O_k로 분할된다고 가정하자.

    • 이 때 임의의 g: G에 대해 a(g): X -> X를 각각 O_1 -> O_1, O_2 -> O_2, ..., O_k -> O_k에 속하는 k개의 함수들의 순서쌍(= 곱집합의 원소)으로 나타낼 수 있다.

       

• Stabilizer

  • 얘는 G의 부분군이 맞다.

  • 임의의 Orbit의 임의의 두 원소 x, g*x에 대해서 Stab(g*x) = g Stab(x) g^(-1)이라는 사실이 이해에 도움이 많이 되었다.

• 실로우 정리 증명에서 이 2가지를 가지고 주구장창 우려먹는 느낌을 받았다.

Bernstein's Lemma

• 처음 볼 때는 집합 { (g, x) | x = g * x }의 크기를 2가지의 서로 다른 방법으로 세는 방식으로 증명했었다.

• 지금은 각 Orbit에 대해 |O| |S| / |G|를 합해서 Orbit의 갯수를 구했는데 더 직접적으로 증명하는 것 같아서 마음에 들었다.

실로우 정리

• Napkin에 나온 증명은 Sylow p-group의 존재성 증명 -> p-group의 성질 밝히기 -> 실로우 정리 증명이었다.

• 존재성 증명까지는 따라갔던 것 같은데 p-group의 성질은 따라가는 데 급급해서인지 지금은 까먹었고 실로우 정리 증명에서 책을 덮었다.

• 모르는 부분은 나중에 다시 보면 된다.

• 증명에서 새로운 개념을 많이 도입하는데 이 때 이 개념의 타입을 명시적으로 생각하는 게 이해에 도움이 많이 된다.